Рассматриваются вопросы неединственности циклов в фазовых портретах систем обыкновенных дифференциальных уравнений биохимической кинетики с блочно-линейными правыми частями, моделирующими функционирование простейших молекулярных репрессиляторов и других кольцевых генных сетей. Для таких моделей различных размерностей ранее были установлены условия существования циклов и исследована их устойчивость.
В настоящей работе описана трехмерная динамическая система такого типа, у которой в фазовом портрете построено три кусочно-линейных цикла, а также описаны гомеоморфные тору их инвариантные окрестности, что позволяет локализовать положение этих циклов и определить их взаимное расположение.
Самый маленький из этих трех циклов представляет собой несложный пример <спрятанного аттрактора> нелинейной динамической системы, два других являются примерами нелокальных колебаний в фазовом портрете.
Проведены вычислительные эксперименты, иллюстрирующие полученные результаты. Ранее примеры неединственности циклов у подобных моделей генных сетей наблюдались только у систем бо´льших размерностей, начиная с пяти. 

Для исследования задач с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя B_−γ с отрицательным параметром −γ ∈ (−1, 0) в работе вводится интегральное преобразование на основе решения u = Jµ сингулярного уравнения Бесселя B_−γ u+u = 0, которое выражено через функцию Бесселя первого рода с положительным параметром µ = γ+1 :2. Строятся четное, нечетное K-преобразования Бесселя (Ганкеля - Киприянова - Катрахова) и класс сингулярных K-псевдодифференциальных операторов. Получены основные теоремы о порядках сингулярных K-псевдодифференциальных операторов.

Изучению различных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка посвящены работы Ф. Трикоми, А. В. Бицадзе, М. М. Смирнова и многих других авторов. В данных работах применялась теория сингулярных интегральных уравнений. С 1970-х гг. к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа начали применять функциональные методы и методы, связанные с функциональным анализом. Началось построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольным многообразием изменения типа. В частности, при некоторых предположениях и знакоопределенности коэффициента при второй производной по времени вблизи оснований цилиндрической области доказаны существование и единственность регулярного решения краевой задачи врагова и первой краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с помощью метода регуляризации.
В 2019 г. А. Н. Артюшин доказал существование, единственность обобщенного и регулярного решений краевой задачи Врагова в весовом пространстве Соболева, когда коэффициент при второй производной по времени может менять знак на основаниях цилиндрической области.
В данной работе установлены существование обобщенного решения и однозначная регулярная разрешимость первой краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка в весовом пространстве Соболева, когда коэффициент при старшей производной уравнения по времени может менять знак на нижнем основании и отрицательный на верхнем основании цилиндрической области. 

Для дифференциальных уравнений произвольного порядка с переменными коэффициентами исследована разрешимость в пространствах Соболева нелокальных краевых задач с классическим условием Ионкина. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений, т. е. решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.

Работа посвящена исследованию разрешимости в пространствах С. Л. Соболева нелинейных обратных задач определения вместе с решением u(x, t) параболического уравнения также неизвестного зависящего от времени коэффициента самого уравнения. Изучаемые задачи являются новыми, поскольку исходное параболическое уравнение вырождающееся. В качестве условий переопределения в работе используются условия интегрального переопределения по области или ин- тегрального граничного переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений, т. е. решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.

Выполнено исследование численного решения нелинейной задачи теплопроводности для пластины с нелинейным источником теплоты (коэффициент теплопроводности и внутренний источник теплоты - экспоненциальные функции температуры). В частности, в нелинейной задаче найдены явления автомодельности, инерции и локализации теплоты, проявляющихся также и в решениях линейных гиперболических уравнений теплопроводности. При автомодельном изменении температуры в некоторых диапазонах пространственной и временно´й переменных наблюдается подобие (самоподобие) температурных кривых. При локализации теплоты в определенном диапазоне пространственной переменной температура с течением времени не изменяется. Инерция теплоты обнаруживается в конечной скорости ее распространения, несмотря на решение параболического уравнения теплопроводности. Перечисленные явления наблюдаются также и в решениях линейных гиперболических уравнений теплопроводности, при выводе которых учитывается временна´я зависимость теплового потока в формуле закона Фурье, приводящая к конечной скорости распространения теплоты. В нелинейных задачах подобный эффект проявляется вследствие зависимости физических свойств и источника теплоты от температуры, приводящей к аналогичной задержке теплового потока.

Изучение динамики запасов углерода болотных экосистем позволит более точно оценивать вклад водно-болотистых угодий в глобальное изменение климата. В данной работе предлагается нульмерная математическая модель, описывающая динамику углерода локальной (в масштабе водораздела) болотной экосистемы с учетом температуры окружающей среды. В предлагаемой модели выделены два резервуара углерода: фитомасса растений и органический углерод в мортомассе. Основные процессы модели включают фотосинтез, дыхание, отмирание фито- массы и вымывание углерода грунтовыми водами. Проведены численные эксперименты, показывающие, как изменение температуры окружающей среды влияет на динамику запасов углерода в болотных экосистемах.