Разрешимость первой краевой задачи для уравнения смешанного типа в весовом пространстве

Аннотация

Изучению различных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка посвящены работы Ф. Трикоми, А. В. Бицадзе, М. М. Смирнова и многих других авторов. В данных работах применялась теория сингулярных интегральных уравнений. С 1970-х гг. к исследованию краевых задач для уравнения смешанного типа начали применять функциональные методы и методы, связанные с функциональным анализом. Началось построение общей теории краевых задач для уравнений смешанного типа с произвольным многообразием изменения типа. В частности, при некоторых предположениях и знакоопределенности коэффициента при второй производной по времени вблизи оснований цилиндрической области доказаны существование и единственность регулярного решения краевой задачи врагова и первой краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с помощью метода регуляризации.
В 2019 г. А. Н. Артюшин доказал существование, единственность обобщенного и регулярного решений краевой задачи Врагова в весовом пространстве Соболева, когда коэффициент при второй производной по времени может менять знак на основаниях цилиндрической области.
В данной работе установлены существование обобщенного решения и однозначная регулярная разрешимость первой краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка в весовом пространстве Соболева, когда коэффициент при старшей производной уравнения по времени может менять знак на нижнем основании и отрицательный на верхнем основании цилиндрической области.