Исследуется метод Гал¨еркина для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Получена равномерная оценка скорости сходимости приближенных решений к сильному решению, зависящая от собственных чисел главного оператора уравнения.

Исследуется однозначная разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка в ограниченной области со степенным вырождением на границе, порожденного некоэрцитивной формой. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных с помощью некоэрцитивных форм, ранее рассматривались в [1–3]. В отличие от этих работ мы предполагаем выполнение более слабого условия эллиптичности (см. условие (5)).

Исследуется нелокальная задача с интегральным условием для одного класса уравнений в частных производных третьего порядка с волновым оператором в главной части. Методом Римана доказано существование регулярного решения исследуемой задачи при определенных условиях гладкости на заданные функции.

Получены необходимые и достаточные условия оптимальности для линеаризованной системы фазового поля, которая относится к системам, не разрешимым относительно производной по времени. Рассматривается задача со смешанным (стартовым и распределенным) управлением и функционалом качества, не учитывающим затраты на управление.

Рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений высокого порядка вида

m

                                       u^(2m+1) + X u⁽ⁱ⁾a_i(t) + Lu = f,                   (x,t) ∈ Q = (a,b) × (0,T),

i=0

оператор L имеет вид

Lu(L₀u + λ₀u + Mu), g(x)

где L₀ — дифференциальный оператор по переменной x, M — его возмущение, а g — вещественная функция, которая может обращаться в 0 и менять знак. Сформулированы и доказаны теоремы об обобщенной разрешимости данной задачи.

Изучается разрешимость линейных обратных задач для уравнения Буссинеска с неизвестным коэффициентом, зависящими от временной переменной t. Для доказательства разрешимости задач используются два различных подхода. Доказаны теоремы существования регулярных решений для данных задач.

Данная работа посвящена исследованию линейной обратной задачи для параболического уравнения высокого порядка. Для изучаемой задачи доказываются теоремы существования и единственности решения.

Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных псевдогиперболических уравнений третьего порядка с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Устанавливается разрешимость краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени с условиями склеивания, содержащими переменные коэффициенты по t ∈ [0,T]. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Г¨ельдера. Показано, что г¨ельдеровские классы их решений зависят как от знаков коэффициентов условий склеивания (включая концы интервала [0,T]), так и от нецелого показателя пространства Г¨ельдера.

Рассматривается задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела, имеющего трещину и тонкое жесткое включение. Дифференциальная постановка задачи содержит краевые условия типа неравенств, а также интегральное условие, описывающее равновесие жесткого включения. Приводится эквивалентная вариационная постановка, с помощью которой доказана однозначная разрешимость исходной задачи. Получены дополнительные свойства гладкости решений, а именно существование производной по временной переменной.

Рассматривается обратная задача об определении правой части для псевдопараболических уравнений 3-го порядка. В качестве условия переопределения рассматриваются значения решения в отдельных точках. В пространствах Соболева доказывается теорема существования и единственности решений и приводится оценка устойчивости.

Рассматривается задача об определении функции источников в математических моделях массопереноса по данным дополнительных измерений в отдельных точках области. Искомая неизвестная функция является правой частью в параболическом уравнении конвекции-диффузии относительно концентрации переносимого вещества. В частности, эта функция характеризует источники загрязнения и их местоположение. В работе приведены некоторые теоретические результаты, построен численный алгоритм и описаны результаты численных экспериментов. Известные ранее алгоритмы в основном основаны на минимизации некоторого функционала, не являющегося выпуклым. Отличие построенного алгоритма от известных ранее состоит в том, что он является прямым, не требует большого количества вычислений и показывает хорошую сходимость к решению. Численная реализация основана на методе конечных элементов.