Для аналога уравнения Буссинеска рассматриваются пространственно-нелокальные краевые задачи с условиями Самарского. Для исследуемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

В цилиндрической области пространства Rⁿ⁺¹ для уравнения смешанного типа второго порядка со спектральным параметром изучается краевая задача В. Н. Врагова. При определенных условиях на коэффициенты уравнения установлены априорные оценки, которые позволяют доказать однозначную разрешимость краевой задачи в энергетическом классе. Получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости краевой задачи в энергетическом классе.

Данная работа является продолжением работы авторов [1] и посвящена исследованию разрешимости задач сопряжения (обобщенных задач дифракции) для неклассических дифференциальных уравнений составного типа высокого порядка. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений.

Рассматривается двухфазная обратная задача Стефана по восстановлению правой части уравнения теплопроводности от времени при известном распределении по пространству. Предложен новый способ учета теплоты фазового перехода путем введения распределенного в окрестности межфазовой границы источника тепла. Построен вычислительный алгоритм, основанный на преобразовании исходной задачи к краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности. Приведены примеры численных расчетов.

Рассматриваются параболические уравнения второго порядка с меняющимся направлением времени с условиями склеивания с переменными коэффициентами по t ∈ [0,T], связанными с применением теории сингулярных интегральных уравнений. Устанавливается разрешимость краевых задач в пространствах Г¨ельдера. Показано, что г¨ельдеровские классы их решений зависят как от нецелого показателя Г¨ельдера, так и от знаков коэффициентов условий склеивания на концах интервала [0,T] при выполнении необходимых и достаточных условий на входные данные задачи.

Рассматривается задача о равновесии двумерного вязкоупругого тела, имеющего тонкое жесткое включение. Дифференциальная постановка задачи содержит интегральное условие, учитывающее воздействие внешних нагрузок на жесткую часть. Приводится эквивалентная вариационная постановка, с помощью которой доказана однозначная разрешимость исходной задачи. Получены дополнительные свойства решений, позволяющие упростить интерпретацию указанного интегрального условия.

Показано, что для сильно вырождающихся неклассических дифференциальных уравнений высокого порядка вида

k

корректной будет задача с освобождением части границы от несения краевых условий.

Рассматриваются две краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками и нелокальным условием по времени. При доказательстве единственности решений используется метод интегралов энергии. Для доказательства разрешимости задачи методом потенциалов построена функция Грина. Далее, с помощью функции Грина доказывается однозначная разрешимость исследуемых задач. При этом изучается влияние граничных условий на класс гладкости решений.

Исследуется общая краевая задача нахождения решения для линейного эллиптического уравнения. Доказываются теоремы существования и единственности решения при выполнении соответствующих граничных условий и условий сопряжения на границе раздела двух сред.

Исследуется распределение скоростей деформаций и напряжений в окрестности торцов оболочки (краевой эффект). Используется двухслойная модель оболочки Ю. Н. Работнова. Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений применяется итерационная процедура. Проведено сравнение решений для оболочки конечной длины и полубесконечной оболочки.

Сравниваются расчеты токов и напряжений, наведенных в воздушной линии передачи при близком разряде молнии, по двум различным математическим моделям. Первая модель описывает электростатическую компоненту наведенных токов, вторая — электромагнитную компоненту. Показано, что пиковые значения обоих компонент по величине сравнимы между собой. Показано, что в условиях многолетней мерзлоты пиковые значения электростатической компоненты наведенных токов и напряжений могут быть на порядки больше, а значит, и опаснее, чем в регионах без мерзлоты.

Представлена математическая модель процесса отсадки. Используются статистический подход для описания процесса и теория броуновского движения. Получено уравнение типа Фоккера — Планка для фракций, помещенных в отсадочной машине. Рассчитаны распределения исследуемых зерен в различных случаях.