Рассматривается нелокальная задача в цилиндрической области для уравнения третьего порядка смешанно-составного типа вида
uttt −µ(x1) ∂
∂x1
�u −a(x, t)�u = f(x, t),
где x1µ(x1) > 0 при x1 ̸= 0, µ(0) = 0, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈Rn.
С помощью метода Галеркина доказывается, что нелокальная краевая задача при некоторых условиях на коэффициенты и правую часть этого уравнения имеет единственное решение в пространствах Соболева. Доказательство основано на методе Галерки- на с выбором специального базиса и априорных оценок. Доказаны также новые теоремы существования и единственности решения нелокальной краевой задачи, которые позволяют расширить круг решаемых проблем в теории краевых задач для неклассических уравнений математической физики.

Аннотация. 
Работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач с нелокальными условиями интегрального вида для дифференциальных уравнений
uxt −auxx + c(x, t)u = f(x, t),
в которых x ∈�= (0, 1), t ∈(0, T), 0 < T < +∞, a ∈R, c(x, t) и f(x, t)
 — известные функции. Особенностью таких уравнений является то, что в них как переменная t, так и переменная x могут считаться временной переменной, и в соответствии с этим для них могут быть предложены постановки краевых задач с разными носителями граничных условий. Для изучаемых задач в работе доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений, а именно решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение.

Исследовано глобальное поведение траекторий полиномиальной системы ˙
x = x −x2y + pxy2 + y3, ˙
y = y + py3,
p ∈R. 
Данное исследование примыкает к работе arXiv:2106/07516v2 [math.DS].

Исследована нелинейная математическая модель о равновесии двумерного упругого тела с двумя тонкими жесткими включениями. Предполагается, что два жестких включения имеют одну общую точку соединения. Кроме того, связь между двумя включениями в данной точке характеризуется положительным параметром повреждаемости. Прямолинейные включения расположены под заданным углом к друг другу в исходном состоянии. На части внешней границы задаются нелинейные условия Синьорини, описывающие контакт с препятствием, на другой части — однородные условия Дирихле. Сформулирована задача оптимального управления параметром, задающим угол между включениями. Функционал качества задается с помощью произвольного непрерывного функционала, определенного на пространстве Соболева. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Установлена непрерывная зависимость решений от угла между включениями.

Исследуется разрешимость обратных задач определения вместе с решением u(x, t) псевдопараболического уравнения также неизвестной функции источника. Подобные задачи рассматриваются при изучении волновых процессов, фильтрации в пористых средах, процессов теплопередачи. Доказывается теорема существования регулярного решения. Обратные задачи для псевдопараболического уравнения с неизвестным внешним воздействием, зависящим от x, и финальным переопределением ранее не рассматривались.

Рассматриваются двупараметрические семейства векторных полей на плоскости с центральной симметрией. Пусть при нулевых значениях параметров векторное поле имеет гиперболическое седло в начале координат O и две симметричные петли сепаратрис этого седла. Седловая величина — след матрицы линейной части векторного поля в точке O — предполагается равной нулю. В работе описана бифуркационная диаграмма типичного семейства — разбиение окрестности нуля на плоскости параметров по классам топологической эквивалентности динамических систем, задаваемых этими векторными полями в фиксированной окрестности U полицикла, образованного петлями сепаратрис. В частности, для каждого элемента разбиения указаны число и тип предельных циклов, принадлежащих окрестности U.

The intention of this paper is to introduce and study certain new analytic spaces in the disk and to show that certain Blaschke type products belong to new large Nevanlinna type classes in the unit disk. We also provide parametric representation of such classes. These results extend and complement some previously known assertions of this type obtained earlier by other authors. Our arguments are based on certain new embeddings which relate the well-known Sp α area Nevanlinna spaces in the unit disk with our new large area Nevanlinna type spaces in the unit disk.

Представлен численный метод на основе балансно-характеристической схемы КАБАРЕ для моделирования в приближении мелкой воды нестационарного течения жидкости на произвольной топографии. Разработанный метод позволяет рассчитывать различные режимы течения, включая транскритические. Для моделирования транскритических переходов используется гибридный подход на основе решения локальной задачи Римана, как это делается в схемах по типу Годунова. Представленный численный метод обладает условием хорошей сбалансированности (well-balance) — выполнение условия гидростатического равновесия или условия покоящейся жидкости на неровном рельефе дна. Помимо этого учитывается возможность сквозного расчета динамических границ, разделяющих жидкость и сухое дно, обусловленных процессами затопления и обмеления, а также ряда физических процессов (трение о дно, осадки). Апробация метода проводится на серии верификационных тестов, допускающих точное решение, и классическом эксперименте, имитирующем разрушении плотины.