Рассматриваются особенности геометрического строения многогранников, связанных с их принадлежностью к различным группам симметрии. Выводятся основные уравнения для вершин, граней и ребер многогранников в зависимости от их расположения на аксиальных, планарных и примитивных орбитах.

Для модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с нагруженным слагаемым в параболической части исследована нелокальная задача с внутреннекраевыми условиями в гиперболической части области. 

Предложены математическая модель и вычислительный алгоритм для решения задач термоупругости в трещиноватых пористых средах. Для моделирования теплопереноса в пористых средах строится математическая модель с использованием моделей двойной диффузии. Учет теплопереноса в трещинах проводится посредством задания интерфейсного условия, позволяющего моделировать скачок температуры на границе трещин. Для расчета напряженно-деформированного состояния используется модель линейной упругости с дополнительным условием на трещине. Для численного решения задачи строится аппроксимация с использованием разрывного метода Гал¨еркина, позволяющего учитывать интерфейсное условие в вариационной постановке. Приводятся результаты численного решения модельной задачи с использованием предложенной модели термоупругости. 

Исследованию существования, единственности и численным методам решения обратной задачи Дирихле для гиперболических уравнений второго порядка посвящен цикл работ научной школы члена-корреспондента РАН С. И. Кабанихина. В данной работе рассматривается численное решение неклассической задачи Дирихле и ее модификаций для двумерного гиперболического уравнения второго порядка. Применяется метод итерационного уточнения недостающего начального условия с помощью дополнительного условия, заданного в конечный момент времени. При этом на каждой итерации численно реализуется прямая задача. Эффективность предлагаемого вычислительного алгоритма подтверждена расчетами для модельных двумерных задач, в том числе при задании дополнительных условий со случайными ошибками.

Рассматривается численное моделирование термомеханического состояния конструкции, состоящего из источника тепла, газового зазора и оболочки. Математическая модель описывается нелинейной системой уравнений для температуры и перемещений. Выделение тепла происходит в подобласти источника. Возникающие перемещения за счет градиента температур рассчитываются в области источника и отдельно в оболочке и могут быть описаны как моделями линейной упругости, так и нелинейными моделями пластичности. Численная реализация построена на основе метода конечных элементов. Представлены результаты численного моделирования нелинейной модельной задачи в двумерной и трехмерной областях.

Рассматриваются задачи переноса и течения в перфорированных и трещиноватых областях. Система уравнений описывается уравнением Стокса для моделирования течения флюида в области и уравнением переноса концентрации некоторого вещества. Перенос концентрации дополняется неоднородными граничными условиями третьего рода, которые моделируют происходящую реакцию на гранях моделируемого объекта. Для численного решения задачи строится конечноэлементная аппроксимация уравнения. Для получения устойчивого решения задачи переноса используется метод SUPG (streamline upwind Petrov–Galerkin) для стабилизации классического метода Гал¨еркина. Вычислительная реализация основана на вычислительной библиотеке FEniCS. Представлены результаты решения модельной задачи в перфорированных и трещиноватых областях. Численно исследованы различные режимы неоднородных граничных условий. 

Многолетний опыт эксплуатации водопроводных систем в условиях вечной мерзлоты показывает, что наиболее рациональным способом является надземная совместная прокладка трубопроводов различного назначения. В регионах Крайнего Севера с низкими зимними и высокими летними температурами, а также с перепадами температур ночного и дневного времени естественна задача изучения условий совместной прокладки труб холодного и горячего водоснабжения с трубами теплоснабжения в одном пучке. Проблема состоит в том, что вода в трубе холодного водоснабжения может замерзнуть в ночное время суток и тем самым разрушить трубу: вода в ней находится под давлением и движется только при ее использовании. Рассматривается численное решение методом конечных элементов двумерной температурной задачи для определения оптимального межтрубного расстояния при совместной прокладке труб холодного водоснабжения, теплоснабжения и горячего водоснабжения, обеспечивающего допустимую температуру воды в трубе холодного водоснабжения. В конечном итоге были выявлены оптимальные межтрубные расстояния для двух разных схем прокладки труб, чтобы холодная вода в зимнее время не замерзала и летом не перегревалась. 

Численно восстанавливается старший коэффициент параболического уравнения в многомерной области. Рассматривается случай, когда старший коэффициент зависит только от решения, и в качестве дополнительного условия берутся данные в некоторых внутренних точках области. Для численного решения задачи используется метод конечных элементов и библиотека FEniCS. Приведены примеры идентификации старшего коэффициента двумерного параболического уравнения. 

Представлена математическая модель смешанной размерности течения жидкости в трещиноватых пористых средах (встроенная модель трещин). Математическая модель описывается системой параболических уравнений: d-размерной для пористой среды и (d−1)-размерной для системы трещин. Система уравнений связана посредством задания специальной функции перетока. Данная модель позволяет использовать сетки для матрицы пористой среды, не зависящие от сетки для трещин. Для численного решения строится аппроксимация с использованием смешанного метода конечных элементов. Представлены результаты численного решения модельной задачи, которые показывают работоспособность предложенного метода для моделирования течения в трещиноватых пористых средах.