ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И ЕЕ МОДИФИКАЦИЙ

Исследованию существования, единственности и численным методам решения обратной задачи Дирихле для гиперболических уравнений второго порядка посвящен цикл работ научной школы члена-корреспондента РАН С. И. Кабанихина. В данной работе рассматривается численное решение неклассической задачи Дирихле и ее модификаций для двумерного гиперболического уравнения второго порядка. Применяется метод итерационного уточнения недостающего начального условия с помощью дополнительного условия, заданного в конечный момент времени. При этом на каждой итерации численно реализуется прямая задача. Эффективность предлагаемого вычислительного алгоритма подтверждена расчетами для модельных двумерных задач, в том числе при задании дополнительных условий со случайными ошибками.

1. Kabanikhin S. I. Inverse and ill-posed problems. Theory and applications. Berlin: De Gruyter, 2011.

2. Lavrent’ev M. M., Romanov V. G., Shishatskii S. P. Ill-posed problems of mathematical physics and analysis. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.

3. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Numerical methods for solving inverse problems of mathematical physics. Berlin: De Gruyter, 2007.

4. Kabanikhin S. I., Bektemesov M. A., Nurseitov D. B., Krivorotko O. I., Alimova A. N. An optimization method in the Dirichlet problem for the wave equation // J. Inverse Ill-posed Probl. 2012. V. 20, N 2. P. 193–211.

5. Кабанихин С. И., Криворотько О. И. Численный метод решения задачи Дирихле для волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 4. С. 90–101.

6. Самарский A. A., Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Мат. моделир. 1997. Т. 9, № 5. C. 119–127.

7. Vasil’ev V. I., Popov V. V., Eremeeva M. S., Kardashevsky A. M. Iterative solution of a nonclassical problem for the equation of string vibrations // Vestn. Mosk. Gos. Tekh. Univ. Im. N. Eh. Baumana, Ser. Estestv. Nauki. 2015. N 3. P. 77–87.

8. Вабищевич П. Н., Васильев В. И. Итерационное решение задачи Дирихле для гиперболического уравнения // Мат. X Междунар. конф. Сеточные методы для краевых задач и приложения. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2014. С. 162–166.

9. Васильев В. И., Кардашевский А. М. Итерационное решение некоторых обратных задач для гиперболических уравнений второго порядка // Тр. Междунар. конф. Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики, 2015. Новосибирск: Абвей, 2015. С. 150–156.

10. Samarskii A. A. The theory of difference schemes. New York; Basel: Marcel Dekker, 2001.

11. Saad Yu. Iterative methods for sparse linear systems. 2nd ed. Philadelphia, PA: SIAM, 2003.