Статья посвящена дифференциальной геометрии подмногообразий многообразий G(m,n) m-мерных плоскостей проективного пространства Pⁿ, содержащих конечное число торсов. Для исследования таких подмногообразий используется грассманово отображение многообразия G(m,n) m-мерных плоскостей проективного пространства Pⁿ на (m+1)(n−m)-мерное алгебраическое многообразие (m,n) пространства P^N, где N 1. Это отображение в сочетании с методом внешних форм Э. Картана и методом подвижного репера позволило определить зависимость строения изучаемых многообразий и конфигурации (m − 1)мерных характеристических плоскостей и (m+ 1)-мерных касательных плоскостей торсов, принадлежащих рассматриваемым многообразиям. 

Описана постановка нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка. Класс таких уравнений охватывает классические уравнения эллиптического типа, гиперболического типа и параболические уравнения. Доказана регулярная разрешимость поставленной нелокальной краевой задачи в пространствах С. Л. Соболева. 

Рассматривается краевая задача для уравнения третьего порядка, не разрешенного относительно старшей производной. Уравнения такого типа, часто называемые уравнениями соболевского типа, встречаются во многих прикладных задачах. С помощью нестационарного метода Гал¨еркина и метода регуляризации доказана теорема существования и единственности регулярного решения краевой задачи. Также получена оценка погрешности метода Гал¨еркина через параметр регуляризации и собственные значения спектральной задачи для оператора Лапласа. 

Изучена математическая модель о равновесии упругого цилиндрического тела с трещиной, скрепленного на внешней границе жестким тонким включением. На поверхности, задающей трещину, ставится условие непроникания в виде неравенства. Проводится анализ зависимости решений от параметра, характеризующего размер тонких жестких включений. Доказано существование решения задачи оптимального управления. Для этой задачи функционал качества определен с помощью произвольного функционала, непрерывного в пространстве решений. Параметр управления задается размером жестких тонких включений.

Устанавливается разрешимость краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени в случае полной матрицы условий склеивания. Известно, что в случае краевых задач для уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных данных не обеспечивает принадлежность решения пространствам Г¨ельдера. С. А. Терсенов в простейших случаях получил необходимые и достаточные условия разрешимости таких задач для параболических уравнений второго порядка в пространствах H_{x t}^p,p/2 при p> 2. При этом условия разрешимости (ортогональности), которым должны удовлетворять данные задачи, были выписаны в явном виде. Отметим, что в одномерном случае число условий ортогональности конечно. В то же время в многомерном случае число условий ортогональности, интегрального характера, бесконечно.

В работе показано, что г¨ельдеровские классы решений краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени, а также количество условий разрешимости, зависят от вида матрицы условий склеивания с действительными коэффициентами. 

С помощью стационарного метода Гал¨еркина доказана однозначная регулярная разрешимость первой краевой задачи для уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени в цилиндрической области. Эта задача ранее была исследована в работе И. Е. Егорова (1987) нестационарным методом Гал¨еркина с привлечением метода регуляризации. В настоящей работе в качестве базиса при построении приближенных решений выбираются собственные функции самосопряженной спектральной задачи для квазиэллиптического уравнения. Для приближенных решений задачи, в отличие от указанной выше работы, доказаны глобальные априорные оценки по всей области. На основании этих оценок установлена оценка скорости сходимости стационарного метода Гал¨еркина. 

Рассмотрена вторая краевая задача для нестационарного уравнения третьего порядка составного типа. Исследованы асимптотические свойства фундаментальных решений уравнения, использованные при построении регулярных решений краевых задач.

Рассматривается функциональное уравнение u(ξ + 1) −u(ξ) = d(ξ), ξ ∈ , в области ⊂C типа «криволинейная полоса». Для достаточно быстро убывающих на бесконечности и голоморфных внутри области функций d(ξ) показано существование голоморфного и ограниченного решения, исследован вопрос единственности. Получены точные оценки найденных решений и асимптотика. 

Исследованы параметры течения газа в магистральном газопроводе в зависимости от перепада давления. На основании уравнений газовой динамики и состояния реального газа установлены распределения температуры и давления по длине газопровода при известных параметрах поступающего газа. Определена зависимость массового расхода газа от известного давления на выходе. Задача теплового взаимодействия движущегося газа и мерзлых грунтов решается в сопряженном виде, что позволяет точнее описать реальный физический процесс. С помощью численного моделирования методом конечных элементов исследованы различные варианты теплоизоляции магистрального газопровода и их влияние на его режим работы.