Аннотация. В современной математике особую важность имеет применение геометрий с максимальной группой движений. Существует множество классификаций таких геометрий, одна из которых содержит геометрию особого расширения евклидова пространства. Эта геометрия относится к семейству геометрий с вырожденной римановой метрикой, но при этом допускает группу движений максимальной размерности. В данной работе исследуются метрические свойства геометрии особого расширения евклидова пространства. Вводится понятие длины кривой в такой геометрии. Находится кривая минимальной длины. Доказывается, что минимальную длину имеет отрезок в горизонтальной гиперплоскости. Вычисляются символы Кристоффеля геометрии особого расширения евклидова пространства.

Аннотация. В полуплоскости R²₊ рассматривается стационарная система двухскоростной гидродинамики с одним давлением и однородными дивергентными и краевыми условиями для двух скоростей. Данная система является переопределенной. Решение данной системы сводится к последовательному решению двух краевых задач: задачи Стокса для одной скорости и давления и переопределенной системы для другой скорости. При надлежащем выборе функциональных пространств доказаны существование и единственность обобщенного решения с соответствующей оценкой устойчивости.

Аннотация. В счетно-нормированных пространствах функций на торе, гладких по одной или обеим переменным, изучаются операторы Теплица с символами, обеспечивающими ограниченность этих операторов в указанных пространствах. Для исследования операторов типа бисингулярных в пространствах суммируемых и г¨ельдеровских функций применялся метод частичной регуляризации. Этим методом в данной работе получена конструкция регуляризатора и условие н¨етеровости оператора Теплица в счетно-нормированном пространстве функций, гладких по одной из переменных. Несмотря на то, что в множестве н¨етеровых операторов в этом пространстве в отличие от случая банаховых пространств имеются операторы с обращающимися в нуль на торе символами, эти результаты вполне аналогичны случаю банаховых пространств. Иначе обстоит дело в пространстве функций, гладких по обеим переменным. Показано, что метод частичной регуляризации неприменим в том пространстве.

Аннотация. Исследуется стационарный режим по числу заявок системы массового обслуживания (СМО) с бесконечным накопителем, одним обслуживающим прибором и экспоненциальным обслуживанием с интенсивностью µ. На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток, интенсивность которого λ(t) изменяется на промежутке [α,β] и представляет собой диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса a = 0, коэффициентом диффузии b > 0 и упругими границами α,β.

В данной работе построены две модели стационарной СМО в виде систем дифференциальных уравнений относительно характеристик числа заявок. Доказано необходимое и достаточное условия существования и единственности стационарного режима СМО, решения системы дифференциальных уравнений относительно характеристик числа заявок стационарной СМО и неотрицательности характеристик СМО. Получена и оценена вероятность простоя. С применением методов операторного анализа найдена стационарная производящая функция решения в виде сходящегося операторного ряда.

Аннотация. Исследовано многомерное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с квадратичной формой по первым производным, при этом рассмотрены случаи как автономного уравнения, так и неавтономного уравнения, в котором коэффициенты квадратичной формы являются функциями независимых переменных. Выполнена редукция данного уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению, и получены решение типа бегущей волны, автомодельное решение и решения в виде квадратичного полинома и обобщенного полинома произвольной степени, а также приведены условия существования этих решений. Показано, что существует решение типа бегущей волны для неавтономного уравнения, которое не инвариантно относительно преобразования сдвига по независимым переменным. Доказана теорема об условиях аддитивного и мультипликативного разделения переменных в случае, когда матрица коэффициентов квадратичной формы относительно первых производных блочно-диагональная, а также для этого случая получены решения типа агрегированной бегущей волны. Данные решения являются обобщениями известных решений типа бегущей волны и зависят от линейных комбинаций по некоторым подмножествам множества независимых переменных. Исследована зависимость найденных решений от коэффициентов уравнения.

Аннотация. Рассматривается односторонняя задача для псевдопараболического оператора Баренблатта — Желтова — Кочиной в одномерном случае, снабженная гладкими начальными данными и однородными граничными условиями. Эта задача формулируется в виде вариационного неравенства и с физической точки зрения моделирует нестационарный процесс фильтрации вязкой жидкости в трещиновато-пористой галерее с ограничением на модуль скорости фильтрации по трещинам. Теорема существования слабого обобщенного решения этой задачи известна в литературе как в одномерном, так и многомерном случаях, и следует из результатов, полученных М. Пташник (Nonlinear Analysis, 2007, vol. 66, P. 2653–2675) с применением метода штрафа. При этом оператор штрафа выбирался в стандартном виде, следуя изложению в монографии Ж.-Л. Лионса «Некоторые методы решения нелинейных краевых задач», М.: Мир, 1972 (теорема 5.1 в гл. 3). В настоящей статье рассматривается приближенная начально-краевая задача с оператором штрафа А. А. Каплана и изучается семейство ее решений. Благодаря специфической структуре оператора А. А. Каплана, удается получить повышенную регулярность слабого обобщенного решения исходной задачи по отношению к ранее известным свойствам регулярности, а также найти усиленное свойство аппроксимации этого решения последовательностью решений приближенной задачи с оператором А. А. Каплана. Кроме этого установлено, что наложенное в исходной задаче одностороннее условие с уменьшением малого параметра аппроксимации выполняется для приближенного решения на все более широком множестве пространственной переменной, причем рост множества происходит монотонно по включению.

Abstract. This survey-type paper deals with the symmetries related to quaternionic analysis. The main goal is to formulate an SU(2) invariant version of the theory. First, we consider the classical Lie groups related to the algebra of quaternions. After that, we recall the classical Spin(4) invariant case, that is Cauchy–Riemann operators, and recall their basic properties. We define the SU(2) invariant operators called the Coifman– Weiss operators. Then we study their relations with the classical Cauchy–Riemann operators and consider the factorization of the Laplace operator. Using SU(2) invariant harmonic polynomials, we obtain the Fourier series representations for quaternionic valued functions studying in detail the matrix coefficients.

Abstract. We study the initial-boundary value problem for the non-conserved phasefield model proposed by Penrose and Fife in 1990 [1] under the flux boundary condition for the temperature field in higher space dimensions, which is obliged to overcome additional difficulties in the mathematical treatment. In all the existing works concerning this problem, only one due to Horn et al. [2] was discussed under the correct form of the flux boundary condition. Here we prove that the same correctly formulated problem as theirs is well-posed globally-in-time in Sobolev–Slobodetski˘ı spaces. Moreover, it is shown that the temperature keeps positive through the time evolution.