РЕГУЛЯРНОСТЬ И АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ ОДНОСТОРОННЕЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА БАРЕНБЛАТТА – ЖЕЛТОВА – КОЧИНОЙ

Аннотация. Рассматривается односторонняя задача для псевдопараболического оператора Баренблатта — Желтова — Кочиной в одномерном случае, снабженная гладкими начальными данными и однородными граничными условиями. Эта задача формулируется в виде вариационного неравенства и с физической точки зрения моделирует нестационарный процесс фильтрации вязкой жидкости в трещиновато-пористой галерее с ограничением на модуль скорости фильтрации по трещинам. Теорема существования слабого обобщенного решения этой задачи известна в литературе как в одномерном, так и многомерном случаях, и следует из результатов, полученных М. Пташник (Nonlinear Analysis, 2007, vol. 66, P. 2653–2675) с применением метода штрафа. При этом оператор штрафа выбирался в стандартном виде, следуя изложению в монографии Ж.-Л. Лионса «Некоторые методы решения нелинейных краевых задач», М.: Мир, 1972 (теорема 5.1 в гл. 3). В настоящей статье рассматривается приближенная начально-краевая задача с оператором штрафа А. А. Каплана и изучается семейство ее решений. Благодаря специфической структуре оператора А. А. Каплана, удается получить повышенную регулярность слабого обобщенного решения исходной задачи по отношению к ранее известным свойствам регулярности, а также найти усиленное свойство аппроксимации этого решения последовательностью решений приближенной задачи с оператором А. А. Каплана. Кроме этого установлено, что наложенное в исходной задаче одностороннее условие с уменьшением малого параметра аппроксимации выполняется для приближенного решения на все более широком множестве пространственной переменной, причем рост множества происходит монотонно по включению.

1. Al’shin A. B., Korpusov M. O., Sveshnikov A. G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations. Berlin: Walter De Gruyter, 2011. (Nonlinear Anal. Appl.; V. 15).

2. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 763–774.

3. Seam N., Vallet G. Existence results for nonlinear pseudoparabolic problems // Nonlinear Anal. Real World Appl. 2011. V. 12. P. 2625–2639.

4. Showalter R. E. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1996. (Math. Surv. Monogr.; V. 49).

5. DiBenedetto E., Showalter R. E. A pseudo-parabolic variational inequality and Stefan problem // Nonlinear Anal. 1982. V. 6, N 3. P. 279–291.

6. Lavrenyuk S. P., Ptashnyk M. B. Pseudoparabolic variational inequalities without initial conditions // Ukr. Math. J. 1998. V. 50, N 7. P. 1045–1057.

7. Ptashnyk M. Nonlinear pseudoparabolic equations and variational inequalities. PhD Thes. Ruprecht-Karls-Universita¨t, Heidelberg, 2004.

8. Ptashnyk M. Degenerate quasilinear pseudoparabolic equations with memory terms and variational inequalities // Nonlinear Anal. 2007. V. 66. P. 2653–2675.

9. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П. Об основных уравнениях фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Докл. АН СССР. 1960. Т. 132, № 3. С. 545–548.

10. Полубаринова-Кочина П. Я. и др. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917–1967) М.: Наука, 1969.

11. Иванова М. В., Ушаков В. И. Вторая краевая задача для псевдопараболического уравнения в нецилиндрической области // Мат. заметки. 2002. Т. 72, вып. 1. С. 48–53.

12. Кожанов А. И., Лукина Г. А. Псевдопараболические и псевдогиперболические уравнения в нецилиндрических по временной переменной областях // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 3. С. 15–30.

13. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

14. Гроссман К., Каплан А. А. Нелинейное программирование на основе безусловной оптимизации. Новосибирск: Наука, 1981.

15. Саженкова Т. В., Саженков С. А. Аппроксимация решения односторонней задачи анизотропной диффузии-абсорбции // Тр. семинара по геометрии и математическому моделированию: сб. ст. Вып. 4. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2018. С. 15–24.

16. Sazhenkova T. V., Sazhenkov S. A. Kaplan’s penalty operator in approximation of a diffusionabsorption problem with a one-sided constraint // Sib. Electron. Mat. Izv. 2019. V. 16. P. 236– 248.

17. Саженкова Т. В., Саженкова Е. В., Саженков С. А. Аппроксимация решения односторонней задачи для p(x)-эллиптического уравнения // Тр. семинара по геометрии и математическому моделированию: сб. ст. Вып. 6. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2020. С. 82–92.

18. Ptashnyk M. Nonlinear pseudoparabolic equations as singular limit of reaction-diffusion equations // Appl. Anal. 2006. V. 85, N 10. P. 1285–1299.

19. Adams D. R., Hedberg L. I. Function spaces and potential theory. New York: Springer-Verl., 1996 (Comprehensive Stud. Math.; V. 314).

20. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

21. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

22. Simon J. Compact sets in the space Lp(0,T;B) // Ann. Mat. Pura Appl. 1987. V. 146. P. 65–96.

23. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.