МНОГОМЕРНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ ПО ПЕРВЫМ ПРОИЗВОДНЫМ

Аннотация

Аннотация. Исследовано многомерное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с квадратичной формой по первым производным, при этом рассмотрены случаи как автономного уравнения, так и неавтономного уравнения, в котором коэффициенты квадратичной формы являются функциями независимых переменных. Выполнена редукция данного уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению, и получены решение типа бегущей волны, автомодельное решение и решения в виде квадратичного полинома и обобщенного полинома произвольной степени, а также приведены условия существования этих решений. Показано, что существует решение типа бегущей волны для неавтономного уравнения, которое не инвариантно относительно преобразования сдвига по независимым переменным. Доказана теорема об условиях аддитивного и мультипликативного разделения переменных в случае, когда матрица коэффициентов квадратичной формы относительно первых производных блочно-диагональная, а также для этого случая получены решения типа агрегированной бегущей волны. Данные решения являются обобщениями известных решений типа бегущей волны и зависят от линейных комбинаций по некоторым подмножествам множества независимых переменных. Исследована зависимость найденных решений от коэффициентов уравнения.