Рассматривается краевая задача с интегральным граничным условием на одном из концов отрезка исследования задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения третьего порядка. С помощью специальных топологических средств установлены достаточные условия существования и единственности положительного решения рассматриваемой задачи, построен соответствующий пример.

Рассматривается нелинейное уравнение движения маятника, точка подвеса которого совершает высокочастотные гармонические колебания. Изучается задача о робастной устойчивости для верхнего положения равновесия. Установлены условия на возмущения коэффициентов уравнения, при которых соответствующее стационарное решение будет экспоненциально устойчиво. Указаны оценки областей притяжения и получены оценки скорости стабилизации решений на бесконечности.

Изучается поведение решений одной начальной задачи для уравнения с запаздыванием на бесконечности. Получены оценки решений, из которых вытекает экспоненциальное убывание решений задачи при t → ∞ при выполнении определенных условий.

Для дифференциальных уравнений составного типа с вырождающимся оператором теплопроводности в старшей части изучаются задачи, близкие по постановке к известной задаче Самарского — Ионкина. Целью работы является доказательство существования и единственности регулярных решений этих задач.

Устанавливается разрешимость краевых задач для параболических
уравнений четвертого порядка с меняющимся направлением времени в пространствах Гёльдера с применением теории сингулярных интегральных уравнений, а также систем этих уравнений. Показано, что гёльдеровские классы решений задачи
типа Жевре в случае весовых функций склеивания зависят как от нецелого показателя Гёльдера, так и от весовых коэффициентов условий склеивания. Рассматриваются сингулярные интегральные операторы в гёльдеровских пространствах с
кусочно-непрерывными матричными коэффициентами. В отличие от классического случая эти операторы помимо сингулярного оператора Коши могут содержать
некомпактные интегральные операторы с ядром, однородным степени −1 относительно расстояний до концевых точек контура интегрирования.

Рассматривается третья краевая задача для уравнения с p-лапласианом с младшим членом, не удовлетворяющим условию Бернштейна — Нагумо. Исследуется разрешимость задачи в классе радиально-симметричных решений. Определен класс градиентных нелинейностей, для которого доказано существование слабого соболевского радиально-симметричного решения с производной, непрерывной по Гёльдеру с показателем 1 p−1 . Показано, что нелинейность по градиенту может быть произвольной при условии, что младший член, содержащий градиент, непрерывен по Липшицу по пространственной переменной и строго монотонен по переменной u. Решение исходной задачи аппроксимируется классическими решениями соответствующей регуляризованной задачи. Полученные для регуляризованной задачи априорные оценки не зависят от параметра регуляризации, что позволяет предельным переходом получить решение исходной задачи указанной гладкости.

We study the problem of radial fingering in immiscible liquid/liquid flow in a Hele-Shaw cell under injection or suction of liquid of less viscosity. The addition of new effects of viscosity and surface tension at the liquid/liquid interface brings our theory into a much better agreement with experiments than other theories. In this paper the classical solvability of the original Hele-Shaw problem (a nonlinear problem with a free boundary for elliptic equations) is established by means of its parabolic regularization with a small parameter ε (> 0) in the time-derivative term and the nonhomogeneous term (the parabolic regularized Hele-Shaw problem) and by vanishing along some subsequence of {ε > 0}. The similar result for a one-phase problem has been already studied in “H. Tani, Classical solvability of the radial viscous fingering problem in a Hele-Shaw cell with surface tension, Sib. J. Pure Appl. Math., 16, 79–92 (2016);” “A. Tani and H. Tani, On the uniqueness of the classical solution of the radial viscous fingering problem in a Hele-Shaw cell with surface tension, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 65, No. 5, 178–191 (2024).”

The non-homogeneous Dirichlet problem for degenerate quasilinear parabolic equations is considered. We prove the existence of a solution u such that ut belongs to L∞. The L∞ estimate of ut is obtained by introducing a new time variable.