Рассматривается первая краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка, когда уравнение принадлежит эллиптическому или гиперболическому типу вблизи оснований цилиндрической области пространства Rⁿ⁺¹. Для исследования первой краевой задачи используется модифицированный метод Гал¨еркина с привлечением метода регуляризации. Для решения первой краевой задачи строится приближенное решение с помощью соответствующей краевой задачи для системы ОДУ третьего порядка. Далее устанавливается оценка погрешности модифицированного метода Гал¨еркина через параметр регуляризации и собственные числа задачи Дирихле для оператора Лапласа по пространственным переменным.

Указан метод построения почти-периодических в смысле Бора решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые возникают при решении некоторых задач для гетерогенных сред.

Рассматривается обратная задача нахождения вместе с решением внешних источников воздействия по временной переменной для уравнения третьего порядка при задании точечных условий переопределения, в частности, рассматриваются случаи восстановления плотностей от одного, а также от двух источников. Доказано существование и единственность решения коэффициентной обратной задачи для уравнения третьего порядка с финальными условиями переопределения.

Исследуется линейная коэффициентная обратная задача для квазигиперболических уравнений высокого порядка. Устанавливается разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением внешнего воздействия для уравнений высокого порядка по временной переменной при задании условия интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности решения коэффициентных обратных задач.

Доказываются теоремы существования регулярных решений краевых задач для параболических уравнений четвертого порядка в случаях, когда либо граничные данные, либо правая часть содержат неизвестные параметры, зависящие лишь от временной переменной. Условиями переопределения в рассматриваемых случаях являются условия интегрального переопределения по пространственной области или же условия интегрального переопределения по границе пространственной области.

Предлагается краткое введение в теорию резургентности и приводится несколько применений к изучению сингулярных ОДУ.

С помощью функционально-аналитического метода теории кубатур минимизирована норма периодического функционала погрешности и улучшено качество построенных формул для целого семейства элементов анизотропного пространства.

Рассматривается взаимодействие элиты и трудящихся. Качественный анализ дифференциальных уравнений, описывающих это взаимодействие, показывает возможность существования катастрофы складки, возникающей при изменении числа реальных стационарных точек. Форма складки зависит от коэффициента, характеризующего внутреннюю тенденцию к ослаблению или усилению воздействия.

Необходимость предсказания катастрофических явлений, которые могут быть вызваны готовящейся вспышкой вулканической деятельности, является актуальной задачей. Для решения этой задачи необходимо проведение комплексных и объективных исследований процессов, происходящих на поверхности и внутри вулканической структуры, в том числе математическое моделирование с целью создания системы вибросейсмического мониторинга. Разработаны параллельные 2D- и 3D-алгоритмы и созданы программы для моделирования распространения упругих волн в сложно построенной 3D-упругой среде (2D-модель есть сечение исходной 3D-модели различными плоскостями и под разными углами). Используется конечно-разностный метод, явные разностные схемы на сдвинутых сетках и метод поглощающих границ CFS-PML. Предложенный численный метод и его параллельная программная реализация эффективно используют архитектуру современного суперкомпьютера на основе графических ускорителей. Проведена серия 3D-расчетов с целью изучения структуры волнового поля, обусловленного геометрией внутренних границ, для уточнения кинематических и динамических характеристик волнового поля с целью возможного создания системы вибросейсмического мониторинга стратовулкана Эльбрус.

Разработан аналитический метод моделирования сейсмических волновых полей для широкого круга геофизических сред (включая упругие, неупругие, анизотропные, анизотропно-неупругие, пористые, случайно-неоднородные и т. п.) на сверхдальние расстояния. Поскольку не используются конечно-разностные аппроксимации, не возникает сеточной дисперсии при расчетах волновых полей для произвольных моделей сред и систем регистраций. Аналитическое представление решения позволяет проводить анализ полного поля по частям, в частности, получать однократные волны. На основе созданного программного модуля расчета волновых полей проведено моделирование сейсмического «звона» на Луне. Проведено сравнение с лучевым методом.