Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева обратной задачи определения функции источника для уравнения смешанного типа второго порядка. В качестве условий переопределения рассматриваются значения решения на некотором наборе плоскостей размерности n−1. Неизвестные функции, входящие в правую часть, зависят от времени и n− 1 пространственных переменных и ищутся в классе квадратично суммируемых функций. При определенных естественных условиях на данные получены теоремы существования и единственности обобщенных решений задачи. Условия на данные по существу совпадают с условиями разрешимости прямой задачи. В качестве метода используется метод продолжения по параметру и полученные априорные оценки. Метод исследования позволяет обобщить результаты на случай более гладких данных и регулярных решений.

Устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка в звездной области с боковой границей, принадлежащей классу C^1+λ, λ > 0, вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа L₂.

Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Рисса и Литтлвуда и Пэли, в которых даются критерии предельных значений в L_p, p > 1, аналитических в единичном круге функций. Эта тематика для равномерно эллиптических уравнений развивалась в работах В. П. Михайлова и А. К. Гущина. Как было показано И. М. Петрушко, условие гладкости границы (∂Q ∈ C²) можно ослабить. При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах А. К. Гущина. При этом все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса и Литтлвуда — Пэли.

Работа посвящена исследованию разрешимости краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений вида

ϕ(t)u_t + (−1)^mψ(t)D_x^2m+1u + c(x,t)u = f(x,t)

^∂k , m ≥ 1 целое, x ∈ (0,1), t ∈ (0,T), 0 < T < +∞), называемых уравнениями с кратными характеристиками. В этих уравнениях функция ϕ(t) может менять знак на отрезке [0,T] произвольным образом, функция ψ(t) предполагается неотрицательной. Для изучаемых уравнений предлагаются постановки краевых задач, существенным образом определяющиеся числами ϕ(0) и ϕ(T), и для предложенных задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.

Работа посвящена изучению одного из разделов неклассических дифференциальных уравнений, а именно изучению вопросов разрешимости для параболических уравнений с меняющимся направлением времени второго порядка. Хорошо известно, что в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных условий полностью обеспечивает принадлежность решений пространствам Г¨ельдера, но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных условий далеко не обеспечивает принадлежность решений этим пространствам. С. А. Терсеновым для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением времени, а С. Г. Пятковым для более общего уравнения второго порядка были получены необходимые и достаточные условия разрешимости в г¨ельдеровых пространствах соответствующих смешанных задач. При этом начальные и краевые условия всегда предполагались нулевыми. В работе рассматриваются случаи, когда начальные и граничные условия принадлежат банаховым пространствам. Вводятся функциональные пространства, в которых надо искать решения. Получены соответствующие априорные оценки, позволяющие получать условия разрешимости указанных задач. Также изучаются свойства полученных решений. В частности, устанавливается эквивалентность условий Рисса и Литлвуда — Пэли, аналогичных условиям для решений строго эллиптических и строго параболических уравнений второго порядка. Доказывается однозначная разрешимость первой смешанной задачи с граничными и начальными функциями из банахова пространства.

Исследуется класс основных функций ⁺_γ , построенный по принципу пространств Лизоркина на основе смешанного преобразования Фурье — Киприянова — Катрахова. Первоначально такие классы функций, построенные на основе смешанного преобразования Фурье — Бесселя, исследовались Л. Н. Ляховым. Введенные им пространства не могли учитывать «нечетные» порядки сингулярных производных. Но последние оказались принципиально необходимы в задачах определения фундаментальных решений дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных). Интегральное преобразование Киприянова — Катрахова (принадлежит классу преобразований Бесселя) приспособлено для работы с сингулярным дифференциальным операторам типа D ^∂k B_x^m, где k принимает значения 0 или 1, а B_x^m — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, порядок дифференцирования равен 2m. Пространства основных функций, представляющие собой образы смешанного преобразования Фурье — Киприянова — Катрахова функций, исчезающих в начале координат и на бесконечности, рассмотрены в данной работе. Изучается возможность приближения функций из о плотности ⁺_γ в пространстве функций ЛебегаQL^γ_p. ⁱ весовых классов Лебега L^γ_p со степенным весом |x_i|^γ , именно, доказана теорема

Исследуется разрешимость начально-краевой задачи для линейных интегродифференциальных уравнений с заданием на боковой границе условия, связывающего значения решения или конормальной производной решения со значениями некоторого интегрального оператора от решения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. В последнее время активно изучаются нелокальные краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений с интегральными условиями на боковой границе, но при этом в основном рассматривается лишь случай классических уравнений второго и четвертого порядков. Начало систематических исследований нелокальных краевых задач — задач нахождения периодических решений для эллиптических уравнений — было положено в статье А. В. Бицадзе и А. А. Самарского (1969). Отметим также исследования для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка с интегральным условием на боковой границе. Большой вклад в развитие теории нелокальных задач для дифференциальных уравнений различных классов внесли монографии А. Л. Скубачевского (1997) и А. М. Нахушева (2006, 2012). 

Рассмотрены задачи фильтрации в трещиноватых средах, которые необходимы при моделировании процессов извлечения углеводородного сырья из нетрадиционных коллекторов, разработки геотермальных месторождений, подземного захоронения радиоактивных отходов в водоносных коллекторах и др. Сети трещин в таких нефтяных месторождениях могут существовать на различных масштабах, а также различаться природой их возникновения. В данной статье рассмотрена математическая модель фильтрации жидкости в трещиноватых пористых средах, описываемая связанной системой уравнений смешанной размерности с заданием специальной функции перетока. Аппроксимация задачи строится с помощью метода конечных разностей на структурированных сетках с использованием встроенной модели трещин, что позволяет строить сетки для матрицы пористой среды независимо от сетки для трещин. Построение консервативной разностной схемы приводится для матрицы пористой среды с использованием интегроинтерполяционного метода и обобщается для связанной системы уравнений, описывающих математические модели мультиконтинуума с иерархическим представлением сети трещин. Представлены результаты численного исследования модельной двумерной задачи.

. Рассматривается численное моделирование термо-электрохимических процессов Li-ion аккумулятора на микроуровне. Математическая модель термоэлектрохимических процессов описывается нелинейными уравнениями для концентрации, потенциала и температуры. Область расчета состоит из трех подобластей: два электрода и электролит. На интерфейсе электродов и электролита происходит процесс интеркаляции и деинтеркаляции ионов лития, который описывается нелинейным уравнением Ботлера — Волмера. Основная сложность в численной реализации состоит в разрывности концентрации и потенциала на интерфейсе подобластей. Для учета разрывности в аппроксимации по пространству связанной системы используются смешанные конечные элементы: разрывные элементы Гал¨еркина для концентрации, потенциала и непрерывные элементы Гал¨еркина для температуры. Аппроксимация по времени выполнена с использованием чисто неявной схемы. Нелинейная система уравнений, полученная при аппроксимации, решается методом Ньютона.