КОНСЕРВАТИВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЗАДАЧ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕЩИНОВАТЫХ СРЕДАХ

Рассмотрены задачи фильтрации в трещиноватых средах, которые необходимы при моделировании процессов извлечения углеводородного сырья из нетрадиционных коллекторов, разработки геотермальных месторождений, подземного захоронения радиоактивных отходов в водоносных коллекторах и др. Сети трещин в таких нефтяных месторождениях могут существовать на различных масштабах, а также различаться природой их возникновения. В данной статье рассмотрена математическая модель фильтрации жидкости в трещиноватых пористых средах, описываемая связанной системой уравнений смешанной размерности с заданием специальной функции перетока. Аппроксимация задачи строится с помощью метода конечных разностей на структурированных сетках с использованием встроенной модели трещин, что позволяет строить сетки для матрицы пористой среды независимо от сетки для трещин. Построение консервативной разностной схемы приводится для матрицы пористой среды с использованием интегроинтерполяционного метода и обобщается для связанной системы уравнений, описывающих математические модели мультиконтинуума с иерархическим представлением сети трещин. Представлены результаты численного исследования модельной двумерной задачи.

1. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for shale gas transport in a coupled discrete fracture and dual-continuum porous media // J. Nat. Gas Sci. Eng. 2017. V. 48. P. 65–76.

2. Li L., Lee S. H. Efficient field-scale simulation of black oil in a naturally fractured reservoir through discrete fracture networks and homogenized media // SPE Reservoir Eval. Eng. 2008. V. 11, N 04. P. 750–758.

3. Akkutlu I. Y., Efendiev Y., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for shale gas transport in poroelastic fractured media // J. Comput. Phys. 2018. V. 353. P. 356–376.

4. Kazemi H., Merrill L. S., Jr., Porterfield K. L., Zeman P. R. Numerical simulation of water-oil flow in naturally fractured reservoirs // Soc. Petrol. Eng. J. 1976. V. 16, N 06. P. 317–326.

5. Arbogast T., Douglas J., Jr., Hornung U. Derivation of the double porosity model of single phase flow via homogenization theory // SIAM J. Math. Anal. 1998. V. 21, N 4. P. 823–836.

6. Barenblatt G. I., Zheltov Yu. P., Kochina I. N. Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks [strata] // J. Appl. Math. Mech. 1968. V. 24, N 5. P. 1286–1303.

7. Warren J. E., Root P. J. The behavior of naturally fractured reservoirs // Soc. Petrol. Eng. J. 1963. V. 3, N 03. P. 245–255.

8. Karimi-Fard M., Durlofsky L. J., Aziz K. An efficient discrete fracture model applicable for general purpose reservoir simulators // Soc. Petrol. Eng. J. 2004. V. 9, N 2. P. 227–236.

9. Tene M., Al Kobaisi M. S., Hajibeygi H. Algebraic multiscale solver for flow in heterogeneous fractured porous media // Pap. SPE Reservoir Simulation Symp. (Houston, TX, Feb. 23–25, 2015), Soc. Petrol. Eng., 2015.

10. Tene M., Bosma S. B., Al Kobaisi M. S., Hajibeygi H. Projection-based embedded discrete fracture model (pEDFM) // Adv. Water Res. 2017. V. 105. P. 205–216.

11. Li Q., Wang Y., Vasilyeva M. Multiscale model reduction for fluid infiltration simulation through dual-continuum porous media with localized uncertainties // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 336. P. 127–146.

12. Chung E. T., Efendiev Y., Leung T., Vasilyeva M. Coupling of multiscale and multi-continuum approaches // GEM-Int. J. Geomath. 2017. V. 8, N 1. P. 9–41.

13. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Cheung W., Wang Y., Prokopiev G. Nonlocal multicontinua upscaling for multicontinua flow problems in fractured porous media // 2018. arXiv preprint arXiv: 1807.05656.

14. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Efendiev Y., Kim J. Constrained energy minimization based upscaling for coupled flow and mechanics // 2018. arXiv preprint arXiv:1805.09382.

15. Vasilyeva M. V., Chung E. T., Leung W. T., Alekseev V. Nonlocal multicontinuum (NLMC) upscaling of mixed dimensional coupled flow problem for embedded and discrete fracture models // 2018. arXiv preprint arXiv:1805.09407.

16. Vabishchevich P., Vasil’eva M. Iterative solution of the pressure problem for the multiphase filtration // Math. Model. Anal. 2012. V. 17, N 4. P. 532–548.

17. Васильева М. В., Васильев В. И., Красников А. А., Никифоров Д. Я. Численное моделирование течения однофазной жидкости в трещиноватых пористых средах // Уч. зап. Казанск. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2017. Т. 159, № 1. С. 100–115.

18. Спиридонов Д. А., Васильева М. В. Моделирование задач фильтрации в трещиноватых пористых средах посредством смешанного метода конечных элементов (встроенная модель трещин) // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 3. С. 100–108.

19. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

20. Tene M., Al Kobaisi M. S., Hajibeygi H. Algebraic multiscale method for flow in heterogeneous porous media with embedded discrete fractures (F-AMS) // J. Comput. Phys. 2016. V. 321. P. 819–845.

21. Hosseini Mehr M., Cusini M., Vuik C., Hajibeygi H. Algebraic dynamic multilevel method for embedded discrete fracture model (F-ADM) // J. Comput. Phys. 2018. V. 373. P. 324–345.