В пространстве L_p(Ω), где 1 <p< +∞ и Ω — произвольная (ограниченная или неограниченная) область n-мерного евклидова пространства R_n, исследуется относительная ограниченность одного класса дифференциальных операторов с частными производными недивергентного вида высшего порядка. Исследуемые операторы имеют нестепенное вырождение вдоль всей границы области , и вырождение по каждой независимой переменной характеризуется с помощью разных функций.

В работах, опубликованных ранее по этому направлению, обычно сначала задавался исследуемый оператор в области и затем в этой области определялись функции, с помощью которых характеризуются вырождения коэффициентов исследуемого оператора. Эти функции имели одинаковое поведение вблизи границы по разным независимым переменным.

В отличие от этого, в настоящей работе область и функции, которые характеризуют вырождения коэффициентов дифференциального оператора, задаются в паре друг с другом и предполагается выполнение «условия погружения», введенного ранее П. И. Лизоркиным. При этом дифференцируемость функций, с помощью которых определяется вырождение исследуемого оператора, не требуется.

Исследование относительной ограниченности дифференциальных операторов является одним из основных направлений теории таких операторов, и результаты, полученные в этом направлении, имеют широкое применение в теории вложения нормированных пространств дифференцируемых функций многих переменных, теории разделимости дифференциальных операторов, спектральной теории дифференциальных операторов и т.д.

В цилиндрической области пространства Rⁿ⁺¹ для уравнения смешанного типа второго порядка со спектральным параметром изучается первая краевая задача. Для уравнений смешанного типа второго порядка ранее были получены лишь результаты разрешимости различных краевых задач в двумерной области. Постановку корректной краевой задачи для уравнений смешанного типа впервые предложил В. Н. Врагов. Одним из условий корректности является условие неотрицательности спектрального параметра. В этой работе анализируется случай комплексного спектрального параметра. При определенных условиях на коэффициенты уравнения получены априорные оценки. С их помощью доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи в энергетическом классе. Получены достаточные условия фредгольмовой разрешимости первой краевой задачи в энергетическом классе.

Описание динамики некоторых финансовых событий может быть связано со стохастическими дифференциальными уравнениями Ито (СДУ). В работе рассматриваются финансовые модели, которые имеют случайные возмущения, вызванные винеровским и пуассоновским процессами. Построение программных управлений с вероятностью 1 (РСР1) основано на понятии первого интеграла для стохастических динамических систем диффузионного типа со скачками, описываемых уравнениями Ито. В качестве примеров построения PCP1 рассматриваются два вида финансовых моделей: модель инвестиционного портфеля (диффузионная) и модель процентных ставок (диффузионная со скачками). Приведенные примеры сопровождаются численным моделированием. 

Исследуется задача о равновесии упругой трансверсально-изотропной пластины (модели Тимошенко), содержащей сквозную наклонную трещину. Считается что трещина не выходит на внешнюю границу. В исходном состоянии предполагается, что противоположные берега трещин соприкасаются друг с другом. При этом трещина описывается с помощью поверхности, которая удовлетворят определенным предположениям. На кривой, задающей трещину в срединной плоскости, ставится краевое условие в виде неравенства, описывающее непроникание противоположных берегов трещины. На внешней границе заданы однородные условия Дирихле. Установлена локальная дополнительная гладкость решения по сравнению с заданной в вариационной формулировке при определенных условиях на поверхность, задающую трещину. Доказана бесконечная дифференцируемость функции решения при дополнительных предположениях на функцию, задающую внешние нагрузки, а также на значения функций перемещений вблизи кривой, описывающей трещину.

Исследуется многомерное параболическое уравнение второго порядка с неявным вырождением и с конечной скоростью распространения возмущений. Рассматриваемое уравнение представляется в виде переопределенной (число уравнений превосходит число искомых функций, подлежащих определению) системы дифференциальных уравнений с частными производными. Ясно, что у переопределенной системы дифференциальных уравнений может вообще не существовать решений. Поэтому для установления факта существования ее решений и степени их произвола проводится исследование, связанное с анализом совместности введенной переопределенной системы дифференциальных уравнений. В итоге проведенного исследования получены как достаточные, так и необходимые и достаточные условия совместности переопределенной системы дифференциальных уравнений с частными производными. На основе этих результатов с использованием уравнения Лиувилля и теоремы о потенциальных операторах конструктивно строятся новые точные неотрицательные решения многомерного уравнения нелинейной теплопроводности. Помимо этого получены новые точные неотрицательные решения нелинейных эволюционных уравнений Гамильтона — Якоби, нелинейной теплопроводности и волны Римана, не являющиеся инвариантными с точки зрения групп точечных преобразований и групп Ли — Беклунда. Наконец, получены преобразования Беклунда, связывающие решения исследуемого многомерного уравнения теплопроводности с родственными нелинейными эволюционными уравнениями. 

Исследуется задача Коши для уравнения распределенного порядка в банаховом пространстве с дробной производной Герасимова — Капуто и с линейным ограниченным оператором в правой части. Методами теории преобразования Лапласа найдены условия существования и единственности решения задачи в пространстве экспоненциально растущих функций. Решение представлено в виде контурного интеграла от резольвенты ограниченного оператора со сложным аргументом, определяемым видом распределенной производной. Доказана аналитичность полученного решения в правой полуплоскости комплексной плоскости. Полученный общий результат использован при исследовании задачи Коши для одной интегродифференциальной системы уравнений, правая часть которой представляет собой композицию интегрального по пространственным переменным и линейного преобразований неизвестной вектор-функции. 

Исследуется краевая задача, описывающая равновесие двумерного упругого тела с двумя тонкими сопрягающимися включениями при наличии отслоения. При этом одно из включений является упругим, а другое — полужестким. Наличие отслоения означает существование трещины между включениями и упругим телом. На берегах трещины задаются нелинейные краевые условия вида неравенств, которые не позволяют противоположным берегам трещин проникать друг в друга. Указанные краевые условия приводят к формулировке проблемы в виде задачи с неизвестным множеством контакта. Приведена как дифференциальная постановка в виде краевой задачи, так и вариационная постановка в виде задачи минимизации функционала энергии на выпуклом множестве допустимых перемещений. Обоснована однозначная разрешимость поставленной задачи. Показана эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок. Исследован предельный переход по параметру жесткости тонкого упругого включения. Найдены условия сопряжения как для исходной задачи, так и для предельной. 

При математическом моделировании процессов, происходящих в устройствах обогащения полезных ископаемых, появляются задачи определения вероятности местонахождения частицы на рабочих поверхностях устройств. В настоящей работе для решения подобной задачи предлагается статистический подход, т. е. при определении вероятности используется идея метода Гиббса. Рассмотрены проблемы моделирования процессов, происходящих в воздушном винтовом сепараторе. Разработаны математическая модель винтовой поверхности пневмосепаратора, модели движения частицы, потока невзаимодействующих частиц по рабочей поверхности сепаратора и алгоритм определения концентрации потока частиц. Рассчитанное распределение концентрации невзаимодействующих частиц на рабочей поверхности устройства отождествляется с распределением вероятности местонахождения одной частицы. Разработанный алгоритм определения вероятности положения частицы на рабочей поверхности пневмосепаратора может быть использован как элемент более сложной математической модели, например модели, где учитываются взаимодействия между частицами. 

Создание новых технологических процессов, основанных на использовании высокоинтенсивных потоков энергии, вынуждает при определении температурного состояния учитывать конечную скорость распространения тепла. Этот учет может быть осуществлен при помощи гиперболического уравнения теплопроводности, полученного А. В. Лыковым в рамках неравновесной феноменологической термодинамики как следствие обобщения закона Фурье для потоков и уравнения теплового баланса. В прежних работах В. Н. Ханхасаева моделировался процесс коммутационного отключения электрической дуги в спутном потоке газа с использованием этого уравнения. В данной работе развивается математическая модель этого процесса с добавлением периода устойчивого горения дуги до момента отключения, и заменой строго гиперболического уравнения теплопроводности гиперболо-параболическим. Для полученного смешанного уравнения теплопроводности корректно поставлены и численно решаются ряд краевых задач в программных средах Фортран и Маткад с получением полей температур, хорошо согласующихся с имеющимися экспериментальными данными.