ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ УПРУГОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ТИМОШЕНКО И ПОЛУЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ
https://doi.org/10.25587/SVFU.2018.1.12770
Аннотация
Исследуется краевая задача, описывающая равновесие двумерного упругого тела с двумя тонкими сопрягающимися включениями при наличии отслоения. При этом одно из включений является упругим, а другое — полужестким. Наличие отслоения означает существование трещины между включениями и упругим телом. На берегах трещины задаются нелинейные краевые условия вида неравенств, которые не позволяют противоположным берегам трещин проникать друг в друга. Указанные краевые условия приводят к формулировке проблемы в виде задачи с неизвестным множеством контакта. Приведена как дифференциальная постановка в виде краевой задачи, так и вариационная постановка в виде задачи минимизации функционала энергии на выпуклом множестве допустимых перемещений. Обоснована однозначная разрешимость поставленной задачи. Показана эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок. Исследован предельный переход по параметру жесткости тонкого упругого включения. Найдены условия сопряжения как для исходной задачи, так и для предельной.
Ключевые слова
Об авторах
А. М. Хлуднев
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН;
Новосибирский гос. университет
Россия
Россия
Хлуднев Александр Михайлович
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090;
Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090
Т. С. Попова
Северо-Восточный Федеральный университет им. М.К. Аммосова
Россия
Россия
Попова Татьяна Семеновна
Северо-Восточный Федеральный университет им. М.К. Аммосова, ул. Белинского, 58, Якутск 677000
Список литературы
1. Khludnev A. M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92. N 5. P. 341–354.
2. Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 39, N 17. P. 4980–4993.
3. Khludnev A. M., Leugering G. R. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Systems. 2014. V. 2. N 1. P. 1–21.
4. Khludnev A. M., Leugering G. R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495–511.
5. Хлуднев A. M. Оптимальное управление включениями в упругом теле, пересекающими внешнюю границу // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18. № 4. С. 75–87.
6. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.
7. Khludnev A. M. Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion // Quart. Appl. Math. 2014. V. 72, N 4. P. 719–730.
8. Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92, N 9. P. 716–730.
9. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.
10. Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.
11. Ковтуненко В. А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 1. С. 109–123.
12. Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math. 2006. V. 71, N 5. P. 635–657.
13. Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Methods Appl. Sci. 2012. V. 35, N 15. P. 1859–1884.
14. Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, вып. 2. C. 98–117.
15. Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. математика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 114–127.
16. Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. C. 98–110.
17. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой облочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58–69.
18. Хлуднев A. M. О равновесии двуслойной упругой конструкции с трещиной // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 2. С. 144–153.
19. Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих телах // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 138–147.
20. Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142–151.
21. Lazarev N. P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66, N 4. P. 2025–2040.
22. Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94. P. 730–739.
23. Рудой Е. М., Хлуднев А. М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 2. C. 120–130.
24. Shcherbakov V. V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 11. P. 1306–1317.
25. Bessoud A.-L., Krasucki F., Serpilli M. Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity // Compt. Rend. Math. 2008. V. 346, S. I. P. 697–702.
26. Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. Multi-materials with strong interface: Variational modelings // Asymptotic Analysis. 2009. V. 61, N 1. P. 1–19.
27. Pasternak I. M. Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions // J. Math. Sci. 2012. V. 186, N 1. P. 31–47.
28. Vynnytska L., Savula Y. Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion // Comput. Mech. 2004. V. 50. N 5. P. 533–542.
29. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in a multi-structure. New York: Oxford Univ. Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).
30. Le Dret H. Modeling of the junction between two rods // J. Math. Pure Appl. 1989. V. 68. P. 365–397.
31. Titeux I., Sanchez-Palencia E. Junction of thin plate // Europ. J. Mech. A/Solids. 2000. V. 19. N 3. P. 377–400.
32. Gaudiello A., Zappale E. Junction in a thin multidomain for a forth order problem // Math. Models Methods Appl. Sci. 2006. V. 16. N 12. P. 1887–1918.
33. Gaudiello A., Zappale E. A model of joined beams as limit of a 2D plate // J. Elasticity. 2011. V. 103, N 2. P. 205–233.
34. Ciarlet P. G., Le Dret H., Nzengwa R. Junctions between three dimensional and two dimensional linearly elastic structures // J. Math. Pures Appl. 1989. V. 6. P. 261–295.
35. Faella L., Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. V. 22. N 4. P. 737– 750.
36. Khludnev A. M., Popova T. S. On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies // Z. Angew. Math. Mech. . 2017. V. 97, N 11. P. 1406– 1417.
37. Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for rigid and semi-rigid inclusions in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2016. V. 86, N 9. P. 1565–1577.
38. Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for Euler–Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Quart. Appl. Math. 2016. V. 74, N 4. P. 705–718.
39. Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1973.
Рецензия
Для цитирования:
Хлуднев А.М., Попова Т.С. ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ УПРУГОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ТИМОШЕНКО И ПОЛУЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ. Математические заметки СВФУ. 2018;25(1):73-89. https://doi.org/10.25587/SVFU.2018.1.12770
For citation:
Khludnev A.M., Popova T.S. ON JUNCTION PROBLEM FOR ELASTIC TIMOSHENKO INCLUSION AND SEMI–RIGID INCLUSION. Mathematical notes of NEFU. 2018;25(1):73-89. (In Russ.) https://doi.org/10.25587/SVFU.2018.1.12770
Просмотров:
25
JATS XML
Послать статью по эл. почте 