matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2018.1.12770matmess-300Research ArticleМАТЕМАТИКАЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ УПРУГОГО ВКЛЮЧЕНИЯ ТИМОШЕНКО И ПОЛУЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯON JUNCTION PROBLEM FOR ELASTIC TIMOSHENKO INCLUSION AND SEMI–RIGID INCLUSIONХлудневА. М.KhludnevA. M.

Хлуднев Александр Михайлович

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, пр. Акад. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090;

Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 1, Новосибирск 630090 

Alexander M. Khludnev

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics, 15 Lavrentiev Avenue, Novosibirsk 630090, Russia;

Novosibirsk State University, 1 Pirogov Street, Novosibirsk, 630090, Russia

khlud@hydro.nsc.ruПоповаТ. С.PopovaT. S.

Попова Татьяна Семеновна

Северо-Восточный Федеральный университет им. М.К. Аммосова, ул. Белинского, 58, Якутск 677000 

Tatyana S. Popova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 58 Belinsky Street, Yakutsk 677000, Russia 

ptsokt@mail.ruИнститут гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН; Новосибирский гос. университетРоссияLavrentiev Institute of Hydrodynamics; Novosibirsk State UniversityRussian FederationСеверо-Восточный Федеральный университет им. М.К. АммосоваРоссияM. K. Ammosov North-Eastern Federal UniversityRussian Federation2018120520262517389Copyright © Хлуднев А.М., Попова Т.С., 20262026Хлуднев А.М., Попова Т.С.Khludnev A.M., Popova T.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/300

Исследуется краевая задача, описывающая равновесие двумерного упругого тела с двумя тонкими сопрягающимися включениями при наличии отслоения. При этом одно из включений является упругим, а другое — полужестким. Наличие отслоения означает существование трещины между включениями и упругим телом. На берегах трещины задаются нелинейные краевые условия вида неравенств, которые не позволяют противоположным берегам трещин проникать друг в друга. Указанные краевые условия приводят к формулировке проблемы в виде задачи с неизвестным множеством контакта. Приведена как дифференциальная постановка в виде краевой задачи, так и вариационная постановка в виде задачи минимизации функционала энергии на выпуклом множестве допустимых перемещений. Обоснована однозначная разрешимость поставленной задачи. Показана эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок. Исследован предельный переход по параметру жесткости тонкого упругого включения. Найдены условия сопряжения как для исходной задачи, так и для предельной. 

An equilibrium problem for elastic bodies with a thin elastic inclusion and a thin semi-rigid inclusion is investigated. The inclusions are assumed to be delaminated from the elastic bodies, forming therefore a crack between the inclusions and the elastic matrix. Nonlinear boundary conditions are considered at the crack faces to prevent mutual penetration between the crack faces. The inclusions have a joint point. We present both differential formulation in the form of a boundary value problem and a variational formulation in the form of a minimization problem for an energy functional on a convex set of admissible displacements. The unique solvability of the problem is substantiated. Equivalence of differential and variational statements is shown. Passage to the limit is investigated as the rigidity parameter of the elastic inclusion goes to infinity. The limit model is analyzed. Junction boundary conditions are found at the joint point for the considered problem as well as for the limit problem. 

включение Тимошенкополужесткое включениеупругое телотрещинанелинейные краевые условияTimoshenko inclusionsemi-rigid inclusionelastic bodycracknonlinear boundary conditionsReferencesKhludnev A. M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92. N 5. P. 341–354.Khludnev A. M., Negri M. Crack on the boundary of a thin elastic inclusion inside an elastic body // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92. N 5. P. 341–354.Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 39, N 17. P. 4980–4993.Itou H., Khludnev A. M. On delaminated thin Timoshenko inclusions inside elastic bodies // Math. Meth. Appl. Sci. 2016. V. 39, N 17. P. 4980–4993.Khludnev A. M., Leugering G. R. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Systems. 2014. V. 2. N 1. P. 1–21.Khludnev A. M., Leugering G. R. Delaminated thin elastic inclusion inside elastic bodies // Math. Mech. Complex Systems. 2014. V. 2. N 1. P. 1–21.Khludnev A. M., Leugering G. R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495–511.Khludnev A. M., Leugering G. R. On Timoshenko thin elastic inclusions inside elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2015. V. 20, N 5. P. 495–511.Хлуднев A. M. Оптимальное управление включениями в упругом теле, пересекающими внешнюю границу // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18. № 4. С. 75–87.Хлуднев A. M. Оптимальное управление включениями в упругом теле, пересекающими внешнюю границу // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18. № 4. С. 75–87.Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.Khludnev A. M. Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion // Quart. Appl. Math. 2014. V. 72, N 4. P. 719–730.Khludnev A. M. Singular invariant integrals for elastic body with delaminated thin elastic inclusion // Quart. Appl. Math. 2014. V. 72, N 4. P. 719–730.Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92, N 9. P. 716–730.Itou H., Khludnev A. M., Rudoy E. M., Tani A. Asymptotic behaviour at a tip of a rigid line inclusion in linearized elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2012. V. 92, N 9. P. 716–730.Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT Press, 2000.Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.Хлуднев А.М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.Ковтуненко В. А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 1. С. 109–123.Ковтуненко В. А. Инвариантные интегралы энергии для нелинейной задачи о трещине с возможным контактом берегов // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67, вып. 1. С. 109–123.Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math. 2006. V. 71, N 5. P. 635–657.Kovtunenko V. A. Primal-dual methods of shape sensitivity analysis for curvilinear cracks with nonpenetration // IMA J. Appl. Math. 2006. V. 71, N 5. P. 635–657.Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Methods Appl. Sci. 2012. V. 35, N 15. P. 1859–1884.Knees D., Schroder A. Global spatial regularity for elasticity models with cracks, contact and other nonsmooth constraints // Math. Methods Appl. Sci. 2012. V. 35, N 15. P. 1859–1884.Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, вып. 2. C. 98–117.Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, вып. 2. C. 98–117.Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. математика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 114–127.Рудой Е. М. Асимптотика функционала энергии для трехмерного тела с жестким включением и трещиной // Прикл. математика и техн. физика. 2011. Т. 52, № 2. С. 114–127.Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. C. 98–110.Хлуднев А. М. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. C. 98–110.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой облочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58–69.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой облочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 3. С. 58–69.Хлуднев A. M. О равновесии двуслойной упругой конструкции с трещиной // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 2. С. 144–153.Хлуднев A. M. О равновесии двуслойной упругой конструкции с трещиной // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 2. С. 144–153.Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих телах // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 138–147.Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих телах // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 138–147.Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142–151.Щербаков В. В. Существование оптимальной формы тонких жестких включений в пластине Кирхгофа — Лява // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 4. С. 142–151.Lazarev N. P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66, N 4. P. 2025–2040.Lazarev N. P. Shape sensitivity analysis of the energy integrals for the Timoshenko-type plate containing a crack on the boundary of a rigid inclusion // Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66, N 4. P. 2025–2040.Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94. P. 730–739.Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94. P. 730–739.Рудой Е. М., Хлуднев А. М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 2. C. 120–130.Рудой Е. М., Хлуднев А. М. Односторонний контакт пластины с тонким упругим препятствием // Сиб. журн. индустр. математики. 2009. Т. 12, № 2. C. 120–130.Shcherbakov V. V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 11. P. 1306–1317.Shcherbakov V. V. The Griffith formula and J-integral for elastic bodies with Timoshenko inclusions // Z. Angew. Math. Mech. 2016. V. 96, N 11. P. 1306–1317.Bessoud A.-L., Krasucki F., Serpilli M. Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity // Compt. Rend. Math. 2008. V. 346, S. I. P. 697–702.Bessoud A.-L., Krasucki F., Serpilli M. Plate-like and shell-like inclusions with high rigidity // Compt. Rend. Math. 2008. V. 346, S. I. P. 697–702.Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. Multi-materials with strong interface: Variational modelings // Asymptotic Analysis. 2009. V. 61, N 1. P. 1–19.Bessoud A.-L., Krasucki F., Michaille G. Multi-materials with strong interface: Variational modelings // Asymptotic Analysis. 2009. V. 61, N 1. P. 1–19.Pasternak I. M. Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions // J. Math. Sci. 2012. V. 186, N 1. P. 31–47.Pasternak I. M. Plane problem of elasticity theory for anisotropic bodies with thin elastic inclusions // J. Math. Sci. 2012. V. 186, N 1. P. 31–47.Vynnytska L., Savula Y. Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion // Comput. Mech. 2004. V. 50. N 5. P. 533–542.Vynnytska L., Savula Y. Mathematical modeling and numerical analysis of elastic body with thin inclusion // Comput. Mech. 2004. V. 50. N 5. P. 533–542.Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in a multi-structure. New York: Oxford Univ. Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Movchan A. B. Asymptotic analysis of fields in a multi-structure. New York: Oxford Univ. Press, 1999. (Oxford Math. Monogr.).Le Dret H. Modeling of the junction between two rods // J. Math. Pure Appl. 1989. V. 68. P. 365–397.Le Dret H. Modeling of the junction between two rods // J. Math. Pure Appl. 1989. V. 68. P. 365–397.Titeux I., Sanchez-Palencia E. Junction of thin plate // Europ. J. Mech. A/Solids. 2000. V. 19. N 3. P. 377–400.Titeux I., Sanchez-Palencia E. Junction of thin plate // Europ. J. Mech. A/Solids. 2000. V. 19. N 3. P. 377–400.Gaudiello A., Zappale E. Junction in a thin multidomain for a forth order problem // Math. Models Methods Appl. Sci. 2006. V. 16. N 12. P. 1887–1918.Gaudiello A., Zappale E. Junction in a thin multidomain for a forth order problem // Math. Models Methods Appl. Sci. 2006. V. 16. N 12. P. 1887–1918.Gaudiello A., Zappale E. A model of joined beams as limit of a 2D plate // J. Elasticity. 2011. V. 103, N 2. P. 205–233.Gaudiello A., Zappale E. A model of joined beams as limit of a 2D plate // J. Elasticity. 2011. V. 103, N 2. P. 205–233.Ciarlet P. G., Le Dret H., Nzengwa R. Junctions between three dimensional and two dimensional linearly elastic structures // J. Math. Pures Appl. 1989. V. 6. P. 261–295.Ciarlet P. G., Le Dret H., Nzengwa R. Junctions between three dimensional and two dimensional linearly elastic structures // J. Math. Pures Appl. 1989. V. 6. P. 261–295.Faella L., Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. V. 22. N 4. P. 737– 750.Faella L., Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Mathematics and Mechanics of Solids. 2017. V. 22. N 4. P. 737– 750.Khludnev A. M., Popova T. S. On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies // Z. Angew. Math. Mech. . 2017. V. 97, N 11. P. 1406– 1417.Khludnev A. M., Popova T. S. On the mechanical interplay between Timoshenko and semirigid inclusions embedded in elastic bodies // Z. Angew. Math. Mech. . 2017. V. 97, N 11. P. 1406– 1417.Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for rigid and semi-rigid inclusions in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2016. V. 86, N 9. P. 1565–1577.Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for rigid and semi-rigid inclusions in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2016. V. 86, N 9. P. 1565–1577.Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for Euler–Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Quart. Appl. Math. 2016. V. 74, N 4. P. 705–718.Khludnev A. M., Popova T. S. Junction problem for Euler–Bernoulli and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Quart. Appl. Math. 2016. V. 74, N 4. P. 705–718.Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1973.Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Механика твердых деформируемых тел. Т. 5. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1973.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.