К проективно-дифференциальной геометрии комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства P n, содержащих конечное число торсов

Предметом исследования настоящей статьи является дифференциальная геометрия ρ-мерных комплексов C^ρ m-мерных плоскостей в проективном пространстве P ⁿ, содержащих конечное число торсов. Настоящая работа относится к исследованиям в области проективной дифференциальной геометрии на основе метода подвижного репера Э. Картана и метода внешних дифференциальных форм. Эти методы позволяют с единой точки зрения изучать дифференциальную геометрию подмногообразий различных размерностей грассманова многообразия, а также обобщить полученные результаты на более широкие классы многообразий многомерных плоскостей. Для изучения таких подмногообразий применяется грассманово отображение многообразия G(m, n) на (m + 1)(n − m)-мерное алгебраическое многообразие Ω (m, n) пространства P ^N, где N =  (ⁿ⁺¹_m+1)−1.

Основная задача дифференциальной геометрии подмногообразий грассмановых многообразий заключается в проведении единой классификации различных классов таких подмногообразий, выяснения их строения и связанная с этим задача определения произвола их существования, а также изучение свойств подмногообразий различных классов. Пересечение алгебраического многообразия Ω (m, n) с его касательным пространством T_l Ω (m, n) представляет собой конус Сегре C_l(m+1, n− m). Этот конус имеет размерность n и несет плоские образующие размерностей m + 1 и n − m, пересекающиеся по прямым. Проективизация P B_l(2) этого конуса есть многообразие Сегре S_l(m, n − m − 1). Многообразие Сегре S_l(m, n − m − 1) инвариантно при проективных преобразованиях пространства P ^{(m+1)(n−m)−1} = P T_l Ω (m, n), являющегося проективизацией с центром в точке l касательного пространства T_l Ω (m, n) к алгебраическому многообразию Ω (m, n). Многообразие Сегре S_l(m, n − m − 1) используется для классификации рассматриваемых подмногообразий грассманова многообразия G(m, n), а также для интерпретации их свойств в терминах проективных алгебраических многообразий. Классификация подмногообразий грассманова многообразия G(m, n) основана на различных конфигурациях плоскости P T_l Ω (m, n) и многообразия Сегре S_l(m, n − m − 1). Целью настоящей статьи является геометрическое доказательство теоремы об определении порядка многообразия Сегре S_l(m, n − m − 1).

1. Akivis M. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam: North-Holland, 1993.

2. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Многообразия с вырожденным гауссовым отображением с кратными фокусами и скрученные конусы // Изв. вузов. Математика. 2003. № 11. С. 3–14.

3. Akivis M. A., Goldberg V. V. Differential geometry of varieties with degenerate Gauss map. New York: Springer-Verl., 2004.

4. Akivis M. A., Goldberg V. V. Conformal differential geometry and its generalizations. New York: New York: John Wiley & Sons, 2011.

5. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2007.

6. Нерсесян В. А. Допустимые комплексы трехмерных плоскостей проективного просторанства P 6. II // Уч. зап. ЕГУ. Сер. Физика и математика. 2002. Вып. 1. С. 34–38.

7. Нерсесян В. А. Допустимые комплексы трехмерных плоскостей проективного просторанства P 6. I // Уч. зап. ЕГУ. Сер. Физика и математика. 2001. Вып. 3. С. 35–39.

8. Макоха А. Н. Геометрическая конструкция линейного комплекса плоскостей B3 // Изв. вузов. Математика. 2018. № 11. С. 15–26.

9. Стеганцева П. Г., Гречнева М. А. Грассманов образ неизотропной поверхности псевдоевклидова пространства // Изв. вузов. Математика. 2017. № 2. С. 65–75.

10. Арнольд В. И. Комплексный лагранжев грассманиан // Функцион. анализ и его прил. 2000. Т. 34, вып. 3. С. 63–65.

11. Арнольд В. И. Лагранжев грассманиан кватернионного гиперсимплектического пространства // Функцион. анализ и его прил. 2001. Т. 35, вып. 1. С. 74–77.

12. Arkani-Hamed N., Bourjaily J. L., Cachazo, F., Goncharov A. B., Postnikov A., Trnka J. Scattering amplitudes and the positive Grassmannian. arXiv:1212.5605v2. 2012.

13. Arkani-Hamed N., Trnka J. The amplituhedron // J. High Energy Phys. 2014. V. 2014, N 10.

14. Бубякин И. В. Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Новосибирск: Наука, 2001.

15. Бубякин И. В. О строении пятимерных комплексов двумерных плоскостей проективного пространства P 5 c единственным торсом // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 2. С. 3–12.

16. Бубякин И. В. О строении комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 4. С. 3–16.

17. Бубякин И. В. О строении некоторых комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов. I // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 2. С. 3–16.

18. Bubyakin I. V. To geometry of complexes of m-dimensional planes in projective space P n, containing a finite number of developable surfaces // Классическая и современная геометрия: мат. Междунар. конф., посв. 100-летию В. Т. Базылева (Москва, 22–25 апреля 2019 г.) (под ред. А. В. Царева). М.: МГПУ, 2019. С. 17–18.

19. Бубякин И. В. О строении некоторых комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов. II // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 4. С. 14–24.

20. Бубякин И. В. О строении некоторых комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов // Итоги науки и техники. Соврем. математика и ее прил. Тем. обзоры. 2020. Т. 180. С. 9–16.

21. Бубякин И. В., Гоголева И. В. К дифференциальной геометрии ρ-мерных комплексов Cρ(1, 1) m-мерных плоскостей проективного пространства P n // Мат. заметки СВФУ. 2021. Т. 28, № 4. С. 3–16.

22. Бубякин И. В. О комплексах двумерных плоскостей проективного пространства P n, содержащих конечное число торсов и характеризующихся конфигурацией их характеристических прямых // Классическая и современная геометрия: мат. Междунар. конф., посв. 100-летию Л. С. Атанасяна (Москва, 1–4 ноября 2021 г.) (под ред. А. В. Царева). М.: МГПУ, 2021. С. 52–53.

23. Бубякин И. В. К дифференциальной геометрии ρ-мерных комплексов Cρ(1, 1) m-мерных плоскостей проективного пространства P n // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 60 / Мат. Междунар. конф. по алгебре, анализу и геометрии (Казань, 22–28 августа 2021 г.). Казань: Изд-во Акад. наук Республики Татарстан, 2021. Т. 60. С. 372–373.

24. Akivis M. A. On the differential geometry of a Grassmann manifold // Tensor. 1982. V. 38. P. 273–282.

25. Акивис M. A. Ткани и почти грассмановы структуры // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 6. С. 6–15.

26. Room T. G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1938.

27. Landsberg J. M. Algebraic geometry and projective differential geometry. Seoul: Seoul Nat. Univ., 1997 (Lect. Notes Ser., Seoul; V. 45).

28. Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. М.: МЦНМО, 2006.

29. Бубякин И. В. К проективно-дифференциальной геометрии пятимерных комплексов двумерных плоскостей проективного пространства P 5 // Мат. заметки СВФУ. 2022. Т. 29, № 3. С. 3–21.