Бубякин Игорь Витальевич
ул. Кулаковского, 48, Якутск 677891
Igor V. Bubyakin
48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677891
Предметом исследования настоящей статьи является дифференциальная геометрия ρ-мерных комплексов Cρ m-мерных плоскостей в проективном пространстве P n, содержащих конечное число торсов. Настоящая работа относится к исследованиям в области проективной дифференциальной геометрии на основе метода подвижного репера Э. Картана и метода внешних дифференциальных форм. Эти методы позволяют с единой точки зрения изучать дифференциальную геометрию подмногообразий различных размерностей грассманова многообразия, а также обобщить полученные результаты на более широкие классы многообразий многомерных плоскостей. Для изучения таких подмногообразий применяется грассманово отображение многообразия G(m, n) на (m + 1)(n − m)-мерное алгебраическое многообразие Ω (m, n) пространства P N, где N = (n+1m+1)−1.
Основная задача дифференциальной геометрии подмногообразий грассмановых многообразий заключается в проведении единой классификации различных классов таких подмногообразий, выяснения их строения и связанная с этим задача определения произвола их существования, а также изучение свойств подмногообразий различных классов. Пересечение алгебраического многообразия Ω (m, n) с его касательным пространством Tl Ω (m, n) представляет собой конус Сегре Cl(m+1, n− m). Этот конус имеет размерность n и несет плоские образующие размерностей m + 1 и n − m, пересекающиеся по прямым. Проективизация P Bl(2) этого конуса есть многообразие Сегре Sl(m, n − m − 1). Многообразие Сегре Sl(m, n − m − 1) инвариантно при проективных преобразованиях пространства P (m+1)(n−m)−1 = P Tl Ω (m, n), являющегося проективизацией с центром в точке l касательного пространства Tl Ω (m, n) к алгебраическому многообразию Ω (m, n). Многообразие Сегре Sl(m, n − m − 1) используется для классификации рассматриваемых подмногообразий грассманова многообразия G(m, n), а также для интерпретации их свойств в терминах проективных алгебраических многообразий. Классификация подмногообразий грассманова многообразия G(m, n) основана на различных конфигурациях плоскости P Tl Ω (m, n) и многообразия Сегре Sl(m, n − m − 1). Целью настоящей статьи является геометрическое доказательство теоремы об определении порядка многообразия Сегре Sl(m, n − m − 1).
The article focuses on differential geometry of ρ-dimensional complexes Cρ of m-dimensional planes in the projective space P n containing a finite number of developable surfaces.
This article relates to researches on projective differential geometry based on the moving frame method by E. Cartan and method of exterior differential forms. These methods make it possible to study from a single viewpoint differential geometry of submanifolds of different dimensions of a Grassmann manifold and also generalize the results to wider classes of manifolds of multidimensional planes.
In order to study such submanifolds we apply the Grassmann mapping of the manifold G(m, n) onto the (m + 1)(n − m)-dimensional algebraic manifold Ω (m, n) of the space P N, where N =N = (n+1m+1)−1.
Primary task of differential geometry of submanifolds of Grassmann manifolds is to carry out uniform classifications of various classes of such submanifolds, to determine their structure and–a related task–to define the degree of freedom of their existence, and also to research the properties of submanifolds of various classes.
The intersection of an algebraic manifold Ω (m, n) with its tangent space Tl Ω (m, n) represents the Segre cone Cl(m + 1, n − m). This cone is of dimension n and carries plane generatrices with dimensions m + 1 and n − m intersecting in straight lines. The projectivization P Bl(2) of this cone is the Segre manifold Sl(m, n − m − 1).
The Segre manifold Sl(m, n−m−1)s is invariant under projective transformations of the space P (m+1)(n−m)−1 = P Tl Ω (m, n), which is the projectivization with the center at point l of the tangent space Tl Ω (m, n) to the algebraic manifold Ω (m, n). The Segre manifold Sl(m, n − m − 1) is used for classification of the considered submanifolds of the Grassmann manifold G(m, n), and also for interpretation of their properties in projective algebraic manifold terms. Classification of submanifolds of the Grassmann manifold G(m, n) is based on various configurations of plane P Tl Ω (m, n) and on the Segre manifold Sl(m, n − m − 1). The purpose of this article is to prove geometrically a theorem for determining the order of the Segre manifold Sl(m, n − m − 1).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.