Рассмотрена модель простейшей кольцевой генной сети, регулируемой одной отрицательной и двумя положительными связями между тремя компонентами этой сети. Модель представлена трехмерной динамической системой с кусочно-линейными пороговыми правыми частями. В ее фазовом портрете описан спрятанный аттрактор, установлены условия существования цикла, лежащего вне области притяжения этого аттрактора.

Исследована нелинейная математическая модель равновесия пластины, контактирующей с препятствием специальной формы. Пластина может контактировать с препятствием, состоящим из двух частей, одна из них задается наклонными образующими, а другая ограничивает пластину со стороны боковой грани. При этом пластина может контактировать как по боковой грани, так и в точках кривой, соответствующей пересечению лицевой (внешней) поверхности пластины и боковой цилиндрической поверхности пластины. Данное обстоятельство приводит к тому, что ставятся граничные условия в виде трех неравенств, выполненных на одной и той же кривой. Наряду с моделью упругой пластины рассмотрен также случай неоднородной пластины, в которой жесткое включение находится вблизи контактной границы. Доказана однозначная разрешимость задач для обеих моделей. При условии дополнительной гладкости решений указанных задач найдены условия оптимальности в виде граничных условий, а также соответствующие эквивалентные дифференциальные постановки.

Рассматривается вопрос о регулярной разрешимости в пространствах Соболева параболических обратных коэффициентных задач в слоистых средах с условиями сопряжения типа неидеального контакта. Решение имеет все обобщенные производные, входящие в уравнение, суммируемые с некоторой степенью. В качестве условий переопределения рассматриваются значения решения в отдельных точках, лежащих внутри области определения. Доказательство основано на получаемых априорных оценках и теореме о неподвижной точке.

Исследуются двумерные нелинейные уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами, левая часть которых представляет собой однородный полином второй степени по искомой функции и ее производным. Рассматривается множество линейных мультипликативных преобразований неизвестной функции, сохраняющих вид исходного уравнения. Аналогично линейным уравнениям инварианты Лапласа определяются как инварианты этого преобразования. Получены выражения для инвариантов Лапласа через коэффициенты уравнения и их первые производные. Для рассматриваемых уравнений найдены эквивалентные системы уравнений первого порядка, содержащие инварианты Лапласа. Показано, что если один из инвариантов Лапласа равен нулю, то соответствующая система сводится к одному уравнению первого порядка. Также в этом случае при выполнении некоторых дополнительных условий на коэффициенты может быть получено решение исходного уравнения в квадратурах. Исследования проведены для гиперболического уравнения со смешанной производной и для нелинейного уравнения второго порядка общего вида с однородным полиномом второй степени по искомой функции и ее производным. Для этих случаев получены выражения для инвариантов Лапласа и приведены соответствующие эквивалентные системы.

We obtain a result by combining three prevalent trends of the fixed point theory, namely (i) replacement of the Lipschitz constants in contraction inequality by functions, (ii) considerations of functions without continuity assumption and (iii) use of binary relations in the space. Specifically, we define a Mizoguchi–Takahashi–Kannan type contraction, which is shown to have fixed points in a metric space with an appropriate binary relation. The issue of the uniqueness of fixed point is separately considered. There are two illustrative examples, in one of which the discontinuity of the function occurs at a fixed point. We discuss Hyers–Ulam–Rassias stability of the fixed point problem and also establish a data dependence result.

We consider a boundary control problem for a fourth-order parabolic equation in a bounded one-dimensional domain. At a part of the boundary, a value of the solution is given and it is required to find control to get the average value of solution. By the method of separation of variables, the problem is reduced to the Volterra integral equation of the first kind. The existence of the control function was proven by the Laplace transform method and an estimate on the minimum time to reach the given average temperature in the rod was found.

The authors present a method of indicator random processes, applicable to constructing models of jump processes associated with the diffusion process. Indicator random processes are processes that take only two values: 1 and 0, in accordance with some probabilistic laws. It is shown that the indicator random process is invariant when reduced to an arbitrary positive degree. Equations with random coefficients used in modeling dynamic systems, when applying the method of indicator random processes, can take into account the possibility of adaptation to external changes, including random ones, in order to preserve indicators important for the existence of the system, which can be continuous or discrete. In the case of indicator random processes, defined as functions of the Poisson process, equations for dynamic processes in a media with abruptly changing properties are constructed and studied. To study the capabilities of the proposed method, dynamic models of the diffusion process in media were studied with delay centers and diffusion processes during transitions by switching from one subspace to another. For these models, equations for characteristic functions are constructed. Using the method of indicator random processes, a characteristic function for the Kac model was constructed. It is shown that in the case of dependence of the indicator random process on the Poisson process, the equation for the characteristic function corresponds to the telegraph equation. This result coincides with the result of Kac.

Представлена новая постановка производственно-распределительной задачи в сетях со сложной структурой производства готовой продукции. Выделены особенности задачи, включая последовательность процедур производства и поставки продукции, учет разнообразных видов продукции на одной стадии, различие между этапом и стадией. Введены понятия «фиктивная» и «реальная» часть (объемы) поставки продукции от реальных поставщиков, которые позволили избежать применения эвристических приемов при решении задачи. Представлена методика, основанная на симплекс-методе, для оптимизации производства и поставок различных видов продукции на каждой стадии производственной цепочки, позволяющая решить задачу за одну оптимизационную процедуру. Результаты исследования могут быть полезны при планировании в комплексных и многопрофильных («сетевых») компаниях для принятия экономически обоснованных решений в области управления производственными цепочками.