Предметом исследования настоящей статьи является дифференциальная геометрия ρ-мерных комплексов C^ρ m-мерных плоскостей в проективном пространстве Pⁿ, содержащих конечное число торсов, для которых n − m различных торсов имеют одну общую (m + 1)-мерную касательную плоскость к торсу, при этом те же n − m различных торсов имеют одну общую характеристическую (m − 1)-мерную характеристическую плоскость, общую для двух бесконечно близких образующих торса. Настоящая работа относится к исследованиям в области проективной дифференциальной геометрии на основе метода подвижного репера Э. Картана и метода внешних дифференциальных форм. Эти методы позволяют с единой точки зрения изучать дифференциальную геометрию подмногообразий различных размерностей грассманова многообразия, а также обобщить полученные результаты на более широкие классы многообразий многомерных плоскостей. Для изучения таких подмногообразий применяется грассманово отображение многообразия G(m,n) на (m + 1)(n − m)-мерное алгебраическое многообразие (m,n) пространства P^N, где N 

Изучается разрешимость задачи Дирихле для дифференциальных уравнений составного (соболевского) типа вида Dt[(−1)^pD_t^2p+1u−h(x)u_xx]+a(x)u_xx+c(x,t)u = f(x,t) в области Q = {(x,t) : x ∈ (−1,0) ∪ (0,1), t ∈ (0,T), 0 < T < +∞} (p ≥ 1 целое, D_t^k = ∂^k/∂t^k , Dt = ∂/∂t). Особенностью рассматриваемых уравнений является то, что коэффициенты h(x) и a(x) в нем могут иметь разрыв первого рода при переходе через точку x = 0. Помимо обычных граничных условий Дирихле в изучаемой задаче задаются также условия сопряжения на линии x = 0.Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений.

Впервые метрическая связность с векторным кручением, или полусимметрическая метрическая связность, была открыта Э. Картаном. Позднее свойства данной связности изучали многие математики. Так, например, К. Яно, И. Агрикола и другие математики исследовали свойства тензора кривизны, геодезические линии, а также поведение связности при конформных деформациях исходной метрики.

В данной работе исследуется уравнение Эйнштейна на трехмерных локально однородных (псевдо)римановых многообразиях с метрической связностью с инвариантным векторным кручением. Доказана теорема о том, что все такие многообразия либо являются многообразиями Эйнштейна относительно связности ЛевиЧивита, либо конформно плоские. Ранее авторами исследовалось уравнение Эйнштейна в случае трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразий.

Целью работы является исследование разрешимости естественных краевых задач для некоторых классов вырождающихся квазиэллиптических уравнений. Особенностями изучаемых задач является то, что, несмотря на вырождение, граничные многообразия в них не освобождаются от несения краевых условий. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений, т. е. решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение. Указываются также некоторые обобщения и усиления представленных в работе результатов. 

Математическое моделирование и исследование задач о деформировании неоднородных тел, содержащих трещины вдоль упругих включений, предполагает задание условий сопряжения на границе стыка разных материалов. Трудности связаны с возможностью появления больших значений напряжений вблизи включений. Определение неоднородных тел с наиболее оптимальными параметрами представляет собой одно из самых востребованных направлений теоретических и экспериментальных исследований. В данной работе исследована задача оптимального управления углом наклона трещины к срединной плоскости в задаче о равновесии упругой пластины Тимошенко, содержащей наклонную трещину на границе упругого включения. Сложность задачи заключается в том, что на берегах трещины существует условие непроникания, имеющее вид неравенства. Функционал качества характеризует отклонение от заданных перемещений. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Установлена непрерывная зависимость решений от значения угла наклона трещины. 

Доказывается часть результатов, относящихся к исследованию задач с неизвестной границей методами компактности, которые были представлены на IX Международной конференции по математическому моделированию, посвященной 75-летию В. Н. Врагова. Дано обоснование теоремы об относительной компактности, которую можно применять при исследовании задач типа задачи Стефана с неизвестной частью границы, а также в задачах для уравнений переменного типа с неизвестной границей смены типа. Приведен пример такой задачи и показано, что полученные оценки на приближенные решения уравнения и функции, описывающие последовательность границ, приближающуюся к искомой границе фазового перехода, полностью совпадают с условиями, сформулированными в основной теореме о компактности.

Автору не известны теоремы подобного типа. Теорема является новым видом теорем компактности, приспособленным к задачам типа Стефана.

Для лучшего восприятия приведены наиболее простые условия при которых справедлив результат, совпадающие с условиями рассмотренного примера. Однако результат может быть обобщен на значительно более общие ситуации, такие как число границ фазового перехода и замену оценки второй производной оценкой более сложного агрегата, встречающегося в уравнениях с вырождениями на решениях. 

Изучается разрешимость в анизотропных пространствах Соболева нелокальных по временной переменной задач для дифференциальных уравнений составного (соболевского) типа

u_tt + (α∂/∂t +β) Δu+γu=f(x,t), где x = (x₁,...,x_n) ∈ Ω ⊂ Rⁿ, t ∈ (0,T), 0 < T < +∞, α, β, γ — заданные действительные числа, f(x,t) — заданная функция. Доказываются теоремы существования и несуществования, единственности и неединственности регулярных решений (решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение).

The article is dedicated to the study and comparison of the empirical liquidity cost function for various futures contract. The function is determined by the current state of the limit order book (LOB). Comparing the liquidity cost of futures contracts, we suggest the use of the initial margin instead of the number of lots or asset units. The form of the empirical liquidity cost function is obtained and a number of approximations for practical use are proposed. The approximations were achieved by quadratic, linear and power functions. The explanation of the difference in the distribution of the values of the liquidity cost function depending on the required initial margin is proposed. These results can be used for optimal execution of large orders, including portfolio hedging.