Исследуется вопрос о существовании и единственности решения обратной задачи

                                            Bu_t + pLu = ϕ(t) + f(t,p),             u(0,p) = u(T,p) = 0.

Операторы B, L самосопряженные в гильбертовом пространстве E, спектр оператора L полуограничен. При выполнении конечного числа условий согласования установлена однозначная разрешимость такой задачи с помощью разложения в ряд по собственным и присоединенным элементам пучка L − λB.

В цилиндрической области рассматривается краевая задача Врагова для уравнения смешанного типа четного порядка с эллиптическим оператором по пространственным переменным. При определенных условиях на коэффициенты уравнения доказаны обобщенная разрешимость, плотная разрешимость, единственность обобщенного решения и фредгольмова разрешимость краевой задачи Врагова в соответствующих пространствах Соболева.

Изучается разрешимость новых обратных задач нахождения вместе с решением параболического уравнения также неизвестного внешнего воздействия (правой части) специального вида. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Рассматриваемые задачи можно трактовать как обобщения известных в теории параболических уравнений обратных задач с финальным или интегральным переопределением.

Рассматривается вопрос о корректности в пространствах Соболева обратной задачи определения функции источников в системе, состоящей из параболического уравнения и обыкновенного дифференциального уравнения. В качестве условия переопределения берется значение концентрации примеси в выделенных точках. Доказаны существование и единственность решений задачи. 

Исследуется однозначная разрешимость задачи Коши для уравнения в банаховом пространстве с вырожденным оператором при дробной производной Капуто. Используются найденные ранее условия существования аналитического в секторе семейства разрешающих операторов такого уравнения, вырождающихся на ядре оператора при производной, а также вид разрешающих операторов. При выполнении этих условий показано существование единственного решения задачи Коши для исследуемого уравнения при начальных данных из дополнения к ядру оператора при производной, решение представлено с использованием разрешающих операторов. Полученные результаты использованы при изучении линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля дробного порядка по времени.

Рассматривается первая краевая задача для уравнения смешанного типа четного порядка. Доказано, что при определенных условиях на коэффициенты уравнения единственное регулярное решение краевой задачи находится как предел приближенных решений, вычисляемых по методу Гал¨еркина. Также получена оценка погрешности стационарного метода Гал¨еркина для этой задачи.

Доказана однозначная регулярная разрешимость в пространстве Соболева краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка, которая ранее была изучена авторами с помощью нестационарного метода Гал¨еркина в сочетании с методом ε-регуляризации. В настоящей работе для этой краевой задачи применяется стационарный метод Гал¨еркина, при этом существенно упрощается методика исследования. Кроме того, получена оценка погрешности стационарного метода Гал¨еркина через собственные значения оператора Лапласа по переменным x ∈Rⁿ и t.

Для модельного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с характеристической нагрузкой доказана теорема существования и единственности решения нелокальной задачи с интегральным условием в гиперболической части. Единственность решения доказывается методом Трикоми, существование — методом интегральных уравнений.

Рассматривается задача об одностороннем контакте двух упругих тел. Это статическая задача в перемещениях. Тела находятся под воздействием объемных и поверхностных сил, силы трения отсутствуют. Дано обоснование использования метода модифицированных функционалов Лагранжа. Приведены результаты численных расчетов.