Статья посвящена дифференциальной геометрии ρ-мерных комплексов C^ρ m-мерных плоскостей проективного пространства Pⁿ, содержащих конечное число торсов. В работе находится необходимое условие, при котором комплекс C^ρ содержит конечное число торсов. Выясняется строение ρ-мерных комплексов C^ρ, для которых все торсы, принадлежащие комплексу C^ρ, имеют одну общую характеристическую (m+1)-мерную плоскость, касающуюся вдоль m-мерной образующей торса. Такие комплексы обозначаются через C^ρ(1). Определяется изображение комплексов C^ρ(1) на (m +1)(n −m)-мерном алгебраическом многообразии Ω(m,n) пространства P^N, где N= (   )- 1, являющемся образом многообразия G(m,n) m-мерных плоскостей проективного пространства Pⁿ при грассмановом отображении.

Рассматривается нелинейная задача о равновесии упругого тела с периодически расположенными трещинами. При этом на краях трещин ставятся односторонние ограничения, что приводит к вариационному неравенству. Период распределения трещин, а также их размеры зависят от малого параметра. Поведение решения задачи с периодически расположенными трещинами определяется двумя первыми членами u⁰(x), u¹(x,y) асимптотического разложения. В статье изучается решение вариационного неравенства на ячейке периодичности (локальная задача). Для первого корректора u¹(x,y) строится уравнение со штрафом и линейное итерационное уравнение в интегральной форме. Доказано, что последовательность решений задачи со штрафом при стремлении малого параметра регуляризации к нулю сходится к решению задачи на ячейке. Показано, что приближенное решение итерационного уравнения сходится сильно к решению уравнения со штрафом.

Для модельного характеристически нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа с вырождением порядка в области его гиперболичности исследована задача типа задачи Бицадзе — Самарского с внутреннекраевыми условиями. Уравнение рассматривается в смешанной области, параболическая часть которой представляет собой прямоугольник, а гиперболическая часть — полубесконечная полоса, ограниченная характеристиками волнового уравнения. В параболической части области исследуемое уравнение представляет неоднородное нагруженное уравнение диффузии, в гиперболической — неоднородное нагруженое уравнение Мак-Кендрика. В параболической части области на одной боковой границе задается значение функции, на другой — условие, связывающее значение искомой функции со значениями функции во внутренних точках области. Найдены условия существования и единственности регулярного решения исследуемой задачи, выписаны представления решений. 

Исследуются вопросы приближенной управляемости за фиксированное и за свободное время класса распределенных систем управления, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями дробного порядка в рефлексивных банаховых пространствах. Предполагается, что оператор при дробной производной Римана — Лиувилля имеет нетривиальное ядро, т. е. уравнение является вырожденным, а пара операторов в уравнении порождает аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов соответствующего однородного уравнения. Начальное состояние системы управления задается условиями типа Шоуолтера — Сидорова. Для получения критерия приближенной управляемости система редуцирована к совокупности двух подсистем, одна из которых имеет тривиальный вид, а другая разрешена относительно дробной производной. Доказана эквивалентность приближенной управляемости системы и приближенной управляемости двух упомянутых подсистем. Найден критерий приближенной управляемости системы в терминах задающих ее операторов. Общие результаты использованы для получения критерия приближенной управляемости распределенной системы управления, динамика которой описывается линеаризованной квазистационарной системой уравнений фазового поля дробного порядка по времени, а также вырожденных систем рассматриваемого класса с конечномерным входом. 

The main aim of this paper is to perceive some inconsistencies made in the paper “Weyl-almost periodic and asymptotically Weyl-almost periodic properties of solutions to linear and semilinear abstract Volterra integro-differential equations”, recently published in Mathematical Notes of SVFU, as well as to propose alternative solutions for problems considered.

Рассматривается решение эллиптического уравнения в смешанной постановке в перфорированной среде с неоднородными граничными условиями Дирихле на границе перфораций. Для решения задачи на мелкой сетке (эталонное решение) используется смешанный метод конечных элементов (Mixed FEM), где аппроксимация скорости реализована с помощью элементов Равиарта — Томаса наименьшего порядка и кусочно постоянных базисных функций для давления. Решение на грубой сетке выполнено с использованием смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов (Mixed GMsFEM). Поскольку перфорации оказывают огромное влияние на процессы в среде, то возникает необходимость вычисления дополнительного базиса, учитывающего влияние перфораций на решение задачи. Приводятся результаты численного эксперимента в двумерной области, подтверждающие работоспособность предложенного многомасштабного метода. 

Коэффициент компактности и постоянная Маделунга являются одними из ключевых параметров в исследованиях веществ, находящихся в конденсированном состоянии. Метод компактного матричного описания кристаллической решетки позволяет ускорить и упростить вычисление этих параметров кристаллической решетки. Однако данный метод основан на кубической симметрии кристаллической структуры, поэтому не применяется для веществ не кубической сингонии.

В работе исследуется кристаллическая решетка гексагонального алмаза на предмет наличия кубического периода и куба-генератора. Цели работы: 1) установить наличие или отсутствие кубического периода и куба-генератора исследуемой кристаллической решетки; 2) определить ориентацию в пространстве кубагенератора; 3) определить значение кубического периода; 4) проверить сохранение выявленной периодичности на протяженном фрагменте кристалла.

По результатам описанного в работе вычислительного эксперимента подтверждено существование кубического периода и куба генератора. Рассчитано значение кубического периода (36 условных единиц, ∼ 2,14нм). Показано его сохранение на протяженном фрагменте кристалла. Показана одинаковая ориентация в пространстве куба-генератора и базовых элементов двухкомпонентной кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза.

Полученные результаты позволяют применить метод компактного матричного описания к кристаллической решетке гексагонального алмаза, а значит, оптимизировать вычисление коэффициента компактности и постоянной Маделунга для данного вещества.

We discuss the numerical solving of nonlinear options pricing models to a market with the insufficient liquidity. Also for these models the sensitivity coefficients of the option price (Greeks) were found numerically. These nonlinear models were selected by us on the basis of our group classification of a general model and were previously obtained in the works of Frey and Stremme, Sircar and Papanicolaou, and Scho¨nbucher and Wilmott. The behavior of the price and its sensitivity coefficients in the nonlinear models and in the linear Black–Scholes model is compared. The results of the comparing presents in the form of graphs, a brief comparative analysis of them was made.

We discuss the numerical solving of nonlinear options pricing models to a market with the insufficient liquidity. Also for these models the sensitivity coefficients of the option price (Greeks) were found numerically. These nonlinear models were selected by us on the basis of our group classification of a general model and were previously obtained in the works of Frey and Stremme, Sircar and Papanicolaou, and Scho¨nbucher and Wilmott. The behavior of the price and its sensitivity coefficients in the nonlinear models and in the linear Black–Scholes model is compared. The results of the comparing presents in the form of graphs, a brief comparative analysis of them was made.