Задача типа Коши и обратные задачи для уравнений с регулярным интегро-дифференциальным оператором типа Римана — Лиувилля и замкнутым оператором

Исследуется однозначная разрешимость задачи типа Коши и линейных обратных коэффициентных задач для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с интегро-дифференциальным оператором типа Римана — Лиувилля первого порядка с регулярным ядром. Оператор при неизвестной функции в уравнении предполагается замкнутым. Получены условия существования и единственности решения задачи типа Коши для линейного неоднородного уравнения. Найден критерий корректной разрешимости для обратной задачи со стационарным неизвестным коэффициентом и с интегральным в смысле Римана — Стилтьеса условием переопределения, включающим в себя условие финального переопределения как частный случай. Найдены условия разрешимости и устойчивости решения обратной задачи с нестационарным неизвестным коэффициентом и абстрактным условием переопределения на полуинтервале. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании линейных обратных начально-краевых задач для уравнений с интегро-дифференциальным оператором типа Римана — Лиувилля первого порядка по временной переменной, с многочленами от самосопряженного эллиптического дифференциального оператора по пространственным переменным и с неизвестным коэффициентом в правой части.

1. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

2. Prilepko A. I., Orlovskii D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York; Basel: Marcel Dekker, Inc., 2000.

3. Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа МиттагЛеффлера // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, №5. С. 637–644.

4. Abasheeva N. L. Some inverse problems for parabolic equations with changing time direction // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 4. P. 337–348.

5. Fedorov V. E., Urazaeva A. V. An inverse problem for linear Sobolev type equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 4. P. 387–395.

6. Favini A., Lorenzi A. Differential equations. Inverse and direct problems. New York: Chapman and Hall/CRC, 2006.

7. Фалалеев М. В. Абстрактная задача прогноз-управление с вырождением в банаховых пространствах // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3, №1. C. 126–132.

8. Пятков С. Г., Самков М. Л. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений // Мат. тр. 2012. Т. 15, №1. C. 155–177.

9. Al Horani M., Favini A. Degenerate first-order inverse problems in Banach spaces // Nonlinear Anal. 2012. V. 75, N 1. P. 68–77.

10. Глушак А. В. Об одной обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 87, вып. 5. C. 684–693.

11. Orlovsky D. G. Parameter determination in a differential equation of fractional order with Riemann–Liouville fractional derivative in a Hilbert space // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. 2015. Т. 8, №1. P. 55–63.

12. Fedorov V. E., Nazhimov R. R. Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with Riemann–Liouville derivative // Fract. Calc. Appl. Anal. 2019. V. 22, N 2. P. 271–286.

13. Fedorov V. E., Nagumanova A. V., Avilovich A. S. A class of inverse problems for evolution equations with the Riemann–Liouville derivative in the sectorial case // Math. Methods Appl. Sci. 2021. V. 44, N 15. P. 11961–11969.

14. Fedorov V. E., Ivanova N. D. Identification problem for degenerate evolution equations of fractional order // Fract. Calc. Appl. Anal. 2017. V. 20, N 3. P. 706–721.

15. Orlovsky D. G. Determination of the parameter of the differential equation of fractional order with the Caputo derivative in Hilbert space // J. Phys. Conf. Ser. 2019. V. 1205, N 1. 012042.

16. Федоров В. Е., Костич М. Задача идентификации для сильно вырожденных эволюционных уравнений с производной Герасимова — Капуто // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, №1. С. 100–113.

17. Fedorov V. E., Nagumanova A. V., Kosti´ c M. A class of inverse problems for fractional order degenerate evolution equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2021. V. 29, N 2. P. 173–184.

18. Ашуров Р. Р., Файзиев Ю. Э. Обратная задача по определению порядка дробной производной в волновом уравнении // Мат. заметки. 2021. Т. 110, №6. C. 824–836.

19. Kostin A. B., Piskarev S. I. Inverse source problem for the abstract fractional differential equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2021. V. 29, N 2. P. 267–281.

20. Fedorov V. E., Ivanova N. D., Borel L. V., Avilovich A. S. Nonlinear inverse problems for fractional differential equations with sectorial operators // Lobachevskii J. Math. 2022. V. 43, N 11. P. 3125–3141.

21. Fedorov V. E., Nagumanova A. V. Inverse linear problems for a certain class of degenerate fractional evolution equations // J. Math. Sci. 2022. V. 260, N 3. P. 371–386.

22. Федоров В. Е., Плеханова М. В., Иванова Н. Д., Шуклина А. Ф., Филин Н. В. Нелинейные обратные задачи для некоторых уравнений с дробными производными // Челяб. физ.мат. журн. 2023. Т. 8, вып. 2. С. 190–202.

23. Fedorov V. E., Plekhanova M. V., Melekhina D. V. Nonlinear inverse problems for equations with Dzhrbashyan–Nersesyan derivatives // Fractal and Fractional. 2023. V. 7, N 6. P. 464.

24. Fedorov V. E., Plekhanova M. V., Melekhina D. V. On local unique solvability for a class of nonlinear identification problems // Axioms. 2023. V. 12, N 11. P. 1013.

25. Федоров В. Е., Плеханова М. В., Сагимбаева А. О. Нелинейные обратные задачи со стационарным неизвестным элементом для уравнений с производными Джрбашяна — Нерсесяна // Мат. заметки СВФУ. 2024. Т. 31, №3. С. 53–72.

26. Plekhanova M. V., Izhberdeeva E. M., Melekhina D. V., Sagimbaeva A. O. Global solvability of nonlinear inverse problems with Dzhrbashyan–Nersesyan derivatives and sectorial operators // J. Math. Sci. 2025. Publ. 15 Feb. 2025. https://doi.org/10.1007/s10958-025-07570-1

27. Fedorov V. E., Godova A. D., Kien B. T. Integro-differential equations with bounded operators in Banach spaces // Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. 2024. N 2. P. 93–107.

28. Федоров В. Е., Годова А. Д. Интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах и аналитические разрешающие семейства операторов // Современная математика. Фундаментальные направления. 2023. Т. 69, вып. 1. C. 166–184.

29. Федоров В. Е., Годова А. Д. Интегро-дифференциальные уравнения типа Герасимова с секториальными операторами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, №2. С. 243–258.

30. Федоров В. Е., Годова А. Д. Линейные обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с ограниченным оператором // Современная математика. Фундаментальные направления. 2024. Т. 70, вып. 4. С. 79–90.

31. Федоров В. Е., Мелехина Д. В. Линейные задачи идентификации для сингулярных интегро-дифференциальных уравнений типа Герасимова // Мат. заметки СВФУ. 2025. Т. 32, №1. С. 46–64.

32. Caputo M., Fabrizio M. A new definition of fractional derivative without singular kernel // Progr. Fract. Differ. Appl. 2015. V. 1, N 2. P. 73–85.

33. Atangana A., Baleanu D. New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model // Thermal Sci. 2016. V. 20. P. 763–769.

34. Нагуманова А. В., Федоров В. Е. Прямые и обратные задачи для линейных уравнений с производной Капуто — Фабрицио и ограниченным оператором // Челяб. физ.-мат. журн. 2024. Т. 9, вып. 3. C. 389–406.

35. Fedorov V. E., Nagumanova А. V. Direct and inverse problems for evolution equations with regular integrodifferential operators // J. Math. Sci. 2024. V. 286, N 2. P. 278–289.

36. LePage W. R. Complex variables and the Laplace transforn for engineers. New York: Dover Publ., 1961.

37. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.