matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/2411-9326-2025-3-95-112matmess-99Research ArticleМАТЕМАТИКАЗадача типа Коши и обратные задачи для уравнений с регулярным интегро-дифференциальным оператором типа Римана — Лиувилля и замкнутым операторомA Cauchy type problem and inverse problems for equations with a Riemann–Liouville type regular integro-differential operator and a closed operatorФедоровВ. Е.FedorovV. E.

Федоров Владимир Евгеньевич

ул. Бр. Кашириных, 129, комн. 447, Челябинск 454001

Vladimir E. Fedorov

129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk 454001

kar@csu.ruНагумановаА. В.NagumanovaA. V.

Нагуманова Анна Викторовна

ул. Бр. Кашириных, 129, комн. 447, Челябинск 454001

Anna V. Nagumanova

129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk 454001

urazaeva_anna@mail.ruСагимбаеваА. О.SagimbaevaA. O.

Сагимбаева Ангелина Олеговна

ул. Бр. Кашириных, 129, комн. 447, Челябинск 454001

Angelina O. Sagimbaeva

129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk 454001

angsag@mail.ruЧелябинский государственный университет, кафедра математического анализаРоссияMathematical Analysis Department, Chelyabinsk State UniversityRussian Federation20253009202532395112Copyright © Федоров В.Е., Нагуманова А.В., Сагимбаева А.О., 20252025Федоров В.Е., Нагуманова А.В., Сагимбаева А.О.Fedorov V.E., Nagumanova A.V., Sagimbaeva A.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/99

Исследуется однозначная разрешимость задачи типа Коши и линейных обратных коэффициентных задач для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с интегро-дифференциальным оператором типа Римана — Лиувилля первого порядка с регулярным ядром. Оператор при неизвестной функции в уравнении предполагается замкнутым. Получены условия существования и единственности решения задачи типа Коши для линейного неоднородного уравнения. Найден критерий корректной разрешимости для обратной задачи со стационарным неизвестным коэффициентом и с интегральным в смысле Римана — Стилтьеса условием переопределения, включающим в себя условие финального переопределения как частный случай. Найдены условия разрешимости и устойчивости решения обратной задачи с нестационарным неизвестным коэффициентом и абстрактным условием переопределения на полуинтервале. Полученные абстрактные результаты использованы при исследовании линейных обратных начально-краевых задач для уравнений с интегро-дифференциальным оператором типа Римана — Лиувилля первого порядка по временной переменной, с многочленами от самосопряженного эллиптического дифференциального оператора по пространственным переменным и с неизвестным коэффициентом в правой части.

The unique solvability of a Cauchy-type problem and linear inverse coefficient problems for an evolution equation in a Banach space with a first-order Riemann– Liouville integro-differential operator with a regular kernel is investigated. The operator at the unknown function in the equation is assumed to be closed. The conditions for the existence and uniqueness of a solution of the Cauchy type problem for a linear inhomogeneous equation are obtained. A criterion of correct solvability is found for the inverse problem with a stationary unknown coefficient and with an integral overdetermination condition in the Riemann–Stieltjes sense, which includes the condition of final overdetermination as a special case. The conditions for the solvability and stability of a solution of the inverse problem with a nonstationary unknown coefficient and an abstract overdetermination condition on the interval are found. The abstract results obtained are used in the study of linear inverse initial boundary value problems for equations with a firstorder Riemann–Liouville type regular integro-differential operator in a time variable, with polynomials with respect to a self-adjoint elliptic differential operator in spatial variables and with an unknown coefficient.

интегро-дифференциальный оператор типа Римана — Лиувиллялинейное эволюционное уравнение в банаховом пространствезадача типа Кошилинейная обратная коэффициентная задачаначально-краевая задача.Riemann–Liouville type regular integro-differential operatorlinear evolution equation in a Banach spaceCauchy type problemlinear inverse coefficient probleminitial boundary value problem.ReferencesKozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.Kozhanov A. I., Composite Type Equations and Inverse Problems, Utrecht, VSP (1999).Prilepko A. I., Orlovskii D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York; Basel: Marcel Dekker, Inc., 2000.Prilepko A. I., Orlovskii D. G., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York; Basel (2000).Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа МиттагЛеффлера // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, №5. С. 637–644.Tikhonov I. V. and Eidelman Yu. S., “An inverse problem for a differential equation in a Banach space and the distribution of zeros of an entire Mittag-Leffler function,” Differ. Equ., 38, No. 5, 669–677 (2002).Abasheeva N. L. Some inverse problems for parabolic equations with changing time direction // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 4. P. 337–348.Abasheeva N. L., “Some inverse problems for parabolic equations with changing time direction,” J. Inverse Ill-Posed Probl., 12, No. 4, 337–348 (2004).Fedorov V. E., Urazaeva A. V. An inverse problem for linear Sobolev type equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 4. P. 387–395.Fedorov V. E. and Urazaeva A. V., “An inverse problem for linear Sobolev type equations,” J. Inverse Ill-Posed Probl., 12, No. 4, 387–395 (2004).Favini A., Lorenzi A. Differential equations. Inverse and direct problems. New York: Chapman and Hall/CRC, 2006.Favini A. and Lorenzi A., Differential Equations, Inverse and Direct Problems, Chapman and Hall/CRC, New York (2006).Фалалеев М. В. Абстрактная задача прогноз-управление с вырождением в банаховых пространствах // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3, №1. C. 126–132.Falaleev M. V., “Abstract problem of prediction-control with degeneration in Banach spaces [in Russian],” Izv. Irkut. Gos. Univ., Ser. Mat., 3, No. 1, 126–132 (2010).Пятков С. Г., Самков М. Л. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений // Мат. тр. 2012. Т. 15, №1. C. 155–177.Pyatkov S. G. and Samkov M. L., “On some classes of coefficient inverse problems for parabolic systems of equations,” Sib. Adv. Math., 22, No. 4, 155–177 (2012).Al Horani M., Favini A. Degenerate first-order inverse problems in Banach spaces // Nonlinear Anal. 2012. V. 75, N 1. P. 68–77.Al Horani M. and Favini A., “Degenerate first-order inverse problems in Banach spaces,” Nonlinear Anal., 75, No. 1, 68–77 (2012).Глушак А. В. Об одной обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 87, вып. 5. C. 684–693.Glushak A. V., “On an inverse problem for an abstract differential equation of fractional order,” Math. Notes, 87, No. 5, 654–662 (2010).Orlovsky D. G. Parameter determination in a differential equation of fractional order with Riemann–Liouville fractional derivative in a Hilbert space // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. 2015. Т. 8, №1. P. 55–63.Orlovsky D. G., “Parameter determination in a differentia equation of fractional order with Riemann–Liouville fractional derivative in a Hilbert space,” J. Sib. Fed. Univ., Ser. Math. Phys., 8, No. 1, 55–63 (2015).Fedorov V. E., Nazhimov R. R. Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with Riemann–Liouville derivative // Fract. Calc. Appl. Anal. 2019. V. 22, N 2. P. 271–286.Fedorov V. E. and Nazhimov R. R., “Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with Riemann–Liouville derivative,” Fract. Calc. Appl. Anal., 22, No. 2, 271–286 (2019).Fedorov V. E., Nagumanova A. V., Avilovich A. S. A class of inverse problems for evolution equations with the Riemann–Liouville derivative in the sectorial case // Math. Methods Appl. Sci. 2021. V. 44, N 15. P. 11961–11969.Fedorov V. E., Nagumanova A. V., and Avilovich A. S., “A class of inverse problems for evolution equations with the Riemann–Liouville derivative in the sectorial case,” Math. Methods Appl. Sci., 44, No. 15, 11961–11969 (2021).Fedorov V. E., Ivanova N. D. Identification problem for degenerate evolution equations of fractional order // Fract. Calc. Appl. Anal. 2017. V. 20, N 3. P. 706–721.Fedorov V. E. and Ivanova N. D., “Identification problem for degenerate evolution equations of fractional order,” Fract. Calc. Appl. Anal., 20, No. 3, 706–721 (2017).Orlovsky D. G. Determination of the parameter of the differential equation of fractional order with the Caputo derivative in Hilbert space // J. Phys. Conf. Ser. 2019. V. 1205, N 1. 012042.Orlovsky D. G., “Determination of the parameter of the differential equation of fractional order with the Caputo derivative in Hilbert space,” J. Phys. Conf. Ser., 1205, No. 1, article ID 012042 (2019).Федоров В. Е., Костич М. Задача идентификации для сильно вырожденных эволюционных уравнений с производной Герасимова — Капуто // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, №1. С. 100–113.Fedorov V. E. and Kostic M., “Identification problem for strongly degenerate evolution equations with the Gerasimov–Caputo derivative,” Differ. Equ., 56, No. 12, 1613–1627 (2020).Fedorov V. E., Nagumanova A. V., Kosti´ c M. A class of inverse problems for fractional order degenerate evolution equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2021. V. 29, N 2. P. 173–184.Fedorov V. E., Nagumanova A. V., and Kosti´c M., “A class of inverse problems for fractional order degenerate evolution equations,” J. Inverse Ill-Posed Probl., 29, No. 2, 173–184 (2021).Ашуров Р. Р., Файзиев Ю. Э. Обратная задача по определению порядка дробной производной в волновом уравнении // Мат. заметки. 2021. Т. 110, №6. C. 824–836.Ashurov R. R. and Fayziev Yu. E., “Inverse problem for finding the order of the fractional derivative in the wave equation,” Math. Notes, 110, No. 6, 842–852 (2021).Kostin A. B., Piskarev S. I. Inverse source problem for the abstract fractional differential equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2021. V. 29, N 2. P. 267–281.Kostin A. B. and Piskarev S. I., “Inverse source problem for the abstract fractional differential equation,” J. Inverse Ill-Posed Probl., 29, No. 2, 267–281 (2021).Fedorov V. E., Ivanova N. D., Borel L. V., Avilovich A. S. Nonlinear inverse problems for fractional differential equations with sectorial operators // Lobachevskii J. Math. 2022. V. 43, N 11. P. 3125–3141.Fedorov V. E., Ivanova N. D., Borel L. V., and Avilovich A. S., “Nonlinear inverse problems for fractional differential equations with sectorial operators,” Lobachevskii J. Math., 43, No. 11, 3125–3141 (2022).Fedorov V. E., Nagumanova A. V. Inverse linear problems for a certain class of degenerate fractional evolution equations // J. Math. Sci. 2022. V. 260, N 3. P. 371–386.Fedorov V. E. and Nagumanova A. V., “Inverse linear problems for a certain class of degenerate fractional evolution equations,” J. Math. Sci., 260, No. 3, 371–386 (2022).Федоров В. Е., Плеханова М. В., Иванова Н. Д., Шуклина А. Ф., Филин Н. В. Нелинейные обратные задачи для некоторых уравнений с дробными производными // Челяб. физ.мат. журн. 2023. Т. 8, вып. 2. С. 190–202.Fedorov V. E., Plekhanova M. V., Ivanova N. D., Shuklina A. F., and Filin N. V., “Nonlinear inverse problems for some equations with fractional derivatives,” Chelyab. Phys. Math. J., 8, No. 2, 190–202 (2023).Fedorov V. E., Plekhanova M. V., Melekhina D. V. Nonlinear inverse problems for equations with Dzhrbashyan–Nersesyan derivatives // Fractal and Fractional. 2023. V. 7, N 6. P. 464.Fedorov V. E., Plekhanova M. V., and Melekhina D. V., “Nonlinear inverse problems for equations with Dzhrbashyan–Nersesyan derivatives,” Fractal Fract., 7, No. 6, article ID 464 (2023).Fedorov V. E., Plekhanova M. V., Melekhina D. V. On local unique solvability for a class of nonlinear identification problems // Axioms. 2023. V. 12, N 11. P. 1013.Fedorov V. E., Plekhanova M. V., and Melekhina D. V., “On local unique solvability for a class of nonlinear identification problems,” Axioms, 12, No. 11, article ID 1013 (2023).Федоров В. Е., Плеханова М. В., Сагимбаева А. О. Нелинейные обратные задачи со стационарным неизвестным элементом для уравнений с производными Джрбашяна — Нерсесяна // Мат. заметки СВФУ. 2024. Т. 31, №3. С. 53–72.Fedorov V. E., Plekhanova M. V., and Sagimbaeva A. O., “Nonlinear inverse problems with a stationary unknown element for equations with Dzhrbashyan–Nersesyan derivatives,” Mat. Zamet. SVFU, 31, No. 3, 53–72 (2024).Plekhanova M. V., Izhberdeeva E. M., Melekhina D. V., Sagimbaeva A. O. Global solvability of nonlinear inverse problems with Dzhrbashyan–Nersesyan derivatives and sectorial operators // J. Math. Sci. 2025. Publ. 15 Feb. 2025. https://doi.org/10.1007/s10958-025-07570-1Plekhanova M. V., Izhberdeeva E. M., Melekhina D. V., and Sagimbaeva A. O., “Global solvability of nonlinear inverse problems with Dzhrbashyan–Nersesyan derivatives and sectorial operators,” J. Math. Sci. (publ. 15 Feb. 2025) (2025). https://doi.org/10.1007/s10958-025-07570-1Fedorov V. E., Godova A. D., Kien B. T. Integro-differential equations with bounded operators in Banach spaces // Bull. Karaganda Univ. Math. Ser. 2024. N 2. P. 93–107.Fedorov V. E., Godova A. D., and Kien B. T., “Integro-differential equations with bounded operators in Banach spaces,” Bull. Karaganda Univ. Math. Ser., No. 2, 93–107 (2024).Федоров В. Е., Годова А. Д. Интегро-дифференциальные уравнения в банаховых пространствах и аналитические разрешающие семейства операторов // Современная математика. Фундаментальные направления. 2023. Т. 69, вып. 1. C. 166–184.Fedorov V. E. and Godova A. D., “Integro-differential equations in Banach spaces and analytic resolving families of operators,” J. Math. Sci., 283, No. 2, 317–334 (2024).Федоров В. Е., Годова А. Д. Интегро-дифференциальные уравнения типа Герасимова с секториальными операторами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30, №2. С. 243–258.Fedorov V. E. and Godova A. D., “Integro-differential equations of Gerasimov type with sectorial operators,” Proc. Steklov Inst. Math., 325, suppl. 1, S99–S113 (2024).Федоров В. Е., Годова А. Д. Линейные обратные задачи для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с ограниченным оператором // Современная математика. Фундаментальные направления. 2024. Т. 70, вып. 4. С. 79–90.Fedorov V. E. and Godova A. D., “Linear inverse problems for integro-differential equations in Banach spaces with a bounded operator [in Russian],” Contemp. Math., Fund. Directions, 70, No. 4, 79–90 (2024)Федоров В. Е., Мелехина Д. В. Линейные задачи идентификации для сингулярных интегро-дифференциальных уравнений типа Герасимова // Мат. заметки СВФУ. 2025. Т. 32, №1. С. 46–64.Fedorov V. E. and Melekhina D. V., “Linear identifications problems for singular integrodifferential equations of Gerasimov type,” Mat. Zamet. SVFU, 32, No. 1, 46–64 (2025).Caputo M., Fabrizio M. A new definition of fractional derivative without singular kernel // Progr. Fract. Differ. Appl. 2015. V. 1, N 2. P. 73–85.Caputo M., Fabrizio M., “A new definition of fractional derivative without singular kernel,” Progr. Fract. Differ. Appl., 1, No. 2, 73–85 (2015).Atangana A., Baleanu D. New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model // Thermal Sci. 2016. V. 20. P. 763–769.Atangana A. and Baleanu D., “New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model,” Thermal Sci., 20, 763–769 (2016).Нагуманова А. В., Федоров В. Е. Прямые и обратные задачи для линейных уравнений с производной Капуто — Фабрицио и ограниченным оператором // Челяб. физ.-мат. журн. 2024. Т. 9, вып. 3. C. 389–406.Nagumanova A. V. and Fedorov V. E., “Direct and inverse problems for linear equations with Caputo–Fibrizio derivative and a bounded operator,” Chelyab. Phys. Math. J., 9, No. 3, 389–406 (2024).Fedorov V. E., Nagumanova А. V. Direct and inverse problems for evolution equations with regular integrodifferential operators // J. Math. Sci. 2024. V. 286, N 2. P. 278–289.Fedorov V. E. and Nagumanova A. V., “Direct and inverse problems for evolution equations with regular integrodifferential operators,” J. Math. Sci., 286, No. 2, 278–289 (2024).LePage W. R. Complex variables and the Laplace transforn for engineers. New York: Dover Publ., 1961.LePage W. R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publ., New York (1961).Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.Triebel H., Interpolation Theory, Functional Spaces, Differential Operators, VEB Deutsch. Verl. Wiss., Berlin (1978).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.