О полиномиальных дифференциальных уравнениях второго порядка на окружности, имеющих первую степень негрубости

Аннотация

Рассматриваются автономные дифференциальные уравнения второго порядка, правые части которых являются полиномами степени n относительно первой производной с периодическими непрерывными коэффициентами, причем старший коэффициент и свободный член не обращаются в нуль. Такие уравнения задают на цилиндрическом фазовом пространстве динамическую систему без особых точек и замкнутых траекторий, гомотопных нулю. Грубыми называются уравнения, для которых структура фазового портрета соответствующей динамической системы не меняется при малых возмущениях в классе таких уравнений. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда все его замкнутые траектории являются гиперболическими. Грубые уравнения образуют открытое всюду плотное множество в пространстве рассматриваемых уравнений. В работе изучаются уравнения первой степени негрубости — негрубые уравнения, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к достаточно близкому негрубому уравнению. Множество уравнений первой степени негрубости является вложенным гладким подмногообразием коразмерности один в пространстве всех рассматриваемых уравнений, открыто и всюду плотно в множестве негрубых уравнений и состоит из уравнений, имеющих единственную негиперболическую замкнутую траекторию — двойной цикл.