СМЕШАННЫЙ МНОГОМАСШТАБНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕ

Рассматривается решение эллиптического уравнения в смешанной постановке в перфорированной среде с неоднородными граничными условиями Дирихле на границе перфораций. Для решения задачи на мелкой сетке (эталонное решение) используется смешанный метод конечных элементов (Mixed FEM), где аппроксимация скорости реализована с помощью элементов Равиарта — Томаса наименьшего порядка и кусочно постоянных базисных функций для давления. Решение на грубой сетке выполнено с использованием смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов (Mixed GMsFEM). Поскольку перфорации оказывают огромное влияние на процессы в среде, то возникает необходимость вычисления дополнительного базиса, учитывающего влияние перфораций на решение задачи. Приводятся результаты численного эксперимента в двумерной области, подтверждающие работоспособность предложенного многомасштабного метода. 

1. Le Bris L., Legoll F., Lozinski A. An MsFEM type approach for perforated domains // Multiscale Modeling and Simulation 2014. V. 13, N 3. P. 1077–1077.

2. Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A. Homogenization of differential operators and integral functionals. Berlin: Springer-Verl. 1991.

3. Allaire G., Brizzi R. A multiscale finite element method for numerical homogenization // SIAM J. Multiscale Modeling and Simulation. 2005. V. 4, N 3. P. 790–812.

4. Chung E. T., Iliev O., Vasilyeva M. V. Generalized multiscale finite element method for nonNewtonian fluid flow in perforated domain // AIP Conference Proceedings. 2016. V. 1773, N 1. P. 100001.

5. Vasilyeva M., Tyrylgin A. Machine learning for accelerating effective property prediction for poroelasticity problem in stochastic media. arXiv preprint arXiv:1810.01586. 2018.

6. Vasilyeva M., Tyrylgin A. Convolutional neural network for fast prediction of the effective properties of domains with random inclusions // J. Physics: Conference Ser. 2019. V. 1158, N 4. P. 042034.

7. Chung E. T., Efendiev Y., Li G., Vasilyeva M. Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains // Applicable Analysis. 2016. V. 95. N 10. P. 2254–2279.

8. Chung E. T., Vasilyeva M., Wang Y. A conservative local multiscale model reduction technique for Stokes flows in heterogeneous perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 321. P. 389–405.

9. Васильева М. В., Стальнов Д. А. Численное усреднение для задачи теплопроводности в неоднородных и перфорированных средах // Вестн. Северо-Восточ. федер. ун-та им. М. К. Аммосова. 2017. № 2. С. 49–59.

10. Tyrylgin A., Spiridonov D., Vasilyeva M. Numerical homogenization for poroelasticity problem in heterogeneous media // J. Physics: Conference Series. 2019. V. 1158. N 4. P. 042030.

11. Chung E., Efendiev Y., Lee C. Mixed generalized multiscale finite element methods and applications // Multiscale Model. Simul. 2015. V. 13, N 1. P. 338–366.

12. Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 330. P. 519–535.

13. Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M. Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 304. P. 84–99.

14. Spiridonov D., Vasilyeva M., Leung W. T. A Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) for perforated domain flows with Robin boundary conditions // J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 357. P. 319–328

15. Vasilyeva M. Chung E. T., Leung W. T., Wang Y., Spiridonov D. Upscaling method for problems in perforated domains with non-homogeneous boundary conditions on perforations using Non-Local Multi-Continuum method (NLMC) // J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 357. P. 215–227.