matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2019.102.31512matmess-268Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕСМЕШАННЫЙ МНОГОМАСШТАБНЫЙ МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ С НЕОДНОРОДНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕMIXED MULTISCALE FINITE ELEMENT METHOD FOR PROBLEMS IN PERFORATED MEDIA WITH INHOMOGENEOUS DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONSВасильеваМ. В.VasilyevaM. V.

Васильева Мария Васильевна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, кафедра вычислительных технологии, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000 

Maria V. Vasilyeva

Department of Computational Technology, Institute of Mathematics and Information Science, M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovskogo Street, Yakutsk 677000, Russia 

vasilyevadotmdotv@gmail.comСпиридоновД. А.SpiridonovD. A.

Спиридонов Денис Алексеевич

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Международная научно-исследовательская лаборатория «Многомасштабное математическое моделирование и компьютерные вычисления», ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000

Denis A. Spiridonov

International research laboratory "Multiscale model reduction", M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovskogo Street, Yakutsk 677000, Russia 

d.stalnov@mail.ruЧунЭ. Т.ChungE. T.

Eric T. Chung (Чун Эрик Т.)

Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong (CUHK), Hong Kong

Eric T. Chung

Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong (CUHK), Hong Kong

tschung@math.cuhk.edu.hkЭфендиевЯ.EfendievY.

Yalchin Efendiev      (Эфендиев Ялчин)

Department of Mathematics and Institute for Scientific Computation, Texas A&M University, College Station, TX, USA 

Yalchin Efendiev

Department of Mathematics and Institute for Scientific Computation, Texas A&M University, College Station, TX, USA 

efendiev@math.tamu.eduСеверо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, кафедра вычислительных технологийРоссияDepartment of Computational Technology, Institute of Mathematics and Information Science, M. K. Ammosov North-Eastern Federal UniversityRussian FederationСеверо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Международная научно-исследовательская лаборатория «Многомасштабное математическое моделирование и компьютерные вычисления»РоссияInternational research laboratory "Multiscale model reduction", M. K. Ammosov North-Eastern Federal UniversityRussian FederationDepartment of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong (CUHK)КитайDepartment of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong (CUHK)ChinaDepartment of Mathematics and Institute for Scientific ComputationСоединённые Штаты АмерикиDepartment of Mathematics and Institute for Scientific Computation, Texas A&M UniversityUnited States2019200420262626579Copyright © Васильева М.В., Спиридонов Д.А., Чун Э.Т., Эфендиев Я., 20262026Васильева М.В., Спиридонов Д.А., Чун Э.Т., Эфендиев Я.Vasilyeva M.V., Spiridonov D.A., Chung E.T., Efendiev Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/268

Рассматривается решение эллиптического уравнения в смешанной постановке в перфорированной среде с неоднородными граничными условиями Дирихле на границе перфораций. Для решения задачи на мелкой сетке (эталонное решение) используется смешанный метод конечных элементов (Mixed FEM), где аппроксимация скорости реализована с помощью элементов Равиарта — Томаса наименьшего порядка и кусочно постоянных базисных функций для давления. Решение на грубой сетке выполнено с использованием смешанного обобщенного многомасштабного метода конечных элементов (Mixed GMsFEM). Поскольку перфорации оказывают огромное влияние на процессы в среде, то возникает необходимость вычисления дополнительного базиса, учитывающего влияние перфораций на решение задачи. Приводятся результаты численного эксперимента в двумерной области, подтверждающие работоспособность предложенного многомасштабного метода. 

We consider the solution of an elliptic equation in mixed formulation in a perforated medium with inhomogeneous Dirichlet boundary conditions at the perforation boundary. To solve the problem on a fine grid (reference solution), the mixed finite element method (Mixed FEM) is used, where the approximation of speed is implemented using Raviart–Thomas elements of the smallest order and piecewise constant basis functions for pressure. The solution on a coarse grid was obtained with the use of the mixed generalized multiscale finite element method (Mixed GMsFEM). Since the perforations have a great influence on the processes in the medium, it is necessary to calculate an additional basis, taking into account the effect of perforations on the solution. The article presents the results of a numerical experiment in a two-dimensional domain which confirm the efficiency of the proposed multiscale method. 

смешанный обобщенный многомасштабный метод конечных элементовсмешанный метод конечных элементовэллиптическое уравнениедополнительная многомасштабная базисная функцияперфорированная областьmixed generalized multiscale finite element methodmixed finite element methodelliptic equationadditional multiscale basis functionperforated regionРабота выполнена за счет гранта РНФ 17–71–2005 (постановка задачи и теоретическая часть) и мега-гранта Правительства РФ № 14.Y26.31.0013 (численный алгоритм).ReferencesLe Bris L., Legoll F., Lozinski A. An MsFEM type approach for perforated domains // Multiscale Modeling and Simulation 2014. V. 13, N 3. P. 1077–1077.Le Bris L., Legoll F., Lozinski A. An MsFEM type approach for perforated domains // Multiscale Modeling and Simulation 2014. V. 13, N 3. P. 1077–1077.Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A. Homogenization of differential operators and integral functionals. Berlin: Springer-Verl. 1991.Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A. Homogenization of differential operators and integral functionals. Berlin: Springer-Verl. 1991.Allaire G., Brizzi R. A multiscale finite element method for numerical homogenization // SIAM J. Multiscale Modeling and Simulation. 2005. V. 4, N 3. P. 790–812.Allaire G., Brizzi R. A multiscale finite element method for numerical homogenization // SIAM J. Multiscale Modeling and Simulation. 2005. V. 4, N 3. P. 790–812.Chung E. T., Iliev O., Vasilyeva M. V. Generalized multiscale finite element method for nonNewtonian fluid flow in perforated domain // AIP Conference Proceedings. 2016. V. 1773, N 1. P. 100001.Chung E. T., Iliev O., Vasilyeva M. V. Generalized multiscale finite element method for nonNewtonian fluid flow in perforated domain // AIP Conference Proceedings. 2016. V. 1773, N 1. P. 100001.Vasilyeva M., Tyrylgin A. Machine learning for accelerating effective property prediction for poroelasticity problem in stochastic media. arXiv preprint arXiv:1810.01586. 2018.Vasilyeva M., Tyrylgin A. Machine learning for accelerating effective property prediction for poroelasticity problem in stochastic media. arXiv preprint arXiv:1810.01586. 2018.Vasilyeva M., Tyrylgin A. Convolutional neural network for fast prediction of the effective properties of domains with random inclusions // J. Physics: Conference Ser. 2019. V. 1158, N 4. P. 042034.Vasilyeva M., Tyrylgin A. Convolutional neural network for fast prediction of the effective properties of domains with random inclusions // J. Physics: Conference Ser. 2019. V. 1158, N 4. P. 042034.Chung E. T., Efendiev Y., Li G., Vasilyeva M. Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains // Applicable Analysis. 2016. V. 95. N 10. P. 2254–2279.Chung E. T., Efendiev Y., Li G., Vasilyeva M. Generalized multiscale finite element methods for problems in perforated heterogeneous domains // Applicable Analysis. 2016. V. 95. N 10. P. 2254–2279.Chung E. T., Vasilyeva M., Wang Y. A conservative local multiscale model reduction technique for Stokes flows in heterogeneous perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 321. P. 389–405.Chung E. T., Vasilyeva M., Wang Y. A conservative local multiscale model reduction technique for Stokes flows in heterogeneous perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 321. P. 389–405.Васильева М. В., Стальнов Д. А. Численное усреднение для задачи теплопроводности в неоднородных и перфорированных средах // Вестн. Северо-Восточ. федер. ун-та им. М. К. Аммосова. 2017. № 2. С. 49–59.Васильева М. В., Стальнов Д. А. Численное усреднение для задачи теплопроводности в неоднородных и перфорированных средах // Вестн. Северо-Восточ. федер. ун-та им. М. К. Аммосова. 2017. № 2. С. 49–59.Tyrylgin A., Spiridonov D., Vasilyeva M. Numerical homogenization for poroelasticity problem in heterogeneous media // J. Physics: Conference Series. 2019. V. 1158. N 4. P. 042030.Tyrylgin A., Spiridonov D., Vasilyeva M. Numerical homogenization for poroelasticity problem in heterogeneous media // J. Physics: Conference Series. 2019. V. 1158. N 4. P. 042030.Chung E., Efendiev Y., Lee C. Mixed generalized multiscale finite element methods and applications // Multiscale Model. Simul. 2015. V. 13, N 1. P. 338–366.Chung E., Efendiev Y., Lee C. Mixed generalized multiscale finite element methods and applications // Multiscale Model. Simul. 2015. V. 13, N 1. P. 338–366.Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 330. P. 519–535.Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M., Wang Y. Multiscale model reduction for transport and flow problems in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 330. P. 519–535.Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M. Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 304. P. 84–99.Chung E. T., Leung W. T., Vasilyeva M. Mixed GMsFEM for second order elliptic problem in perforated domains // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 304. P. 84–99.Spiridonov D., Vasilyeva M., Leung W. T. A Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) for perforated domain flows with Robin boundary conditions // J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 357. P. 319–328Spiridonov D., Vasilyeva M., Leung W. T. A Generalized Multiscale Finite Element Method (GMsFEM) for perforated domain flows with Robin boundary conditions // J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 357. P. 319–328Vasilyeva M. Chung E. T., Leung W. T., Wang Y., Spiridonov D. Upscaling method for problems in perforated domains with non-homogeneous boundary conditions on perforations using Non-Local Multi-Continuum method (NLMC) // J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 357. P. 215–227.Vasilyeva M. Chung E. T., Leung W. T., Wang Y., Spiridonov D. Upscaling method for problems in perforated domains with non-homogeneous boundary conditions on perforations using Non-Local Multi-Continuum method (NLMC) // J. Comput. Appl. Math. 2019. V. 357. P. 215–227.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.