КРИТЕРИЙ ПРИБЛИЖЕННОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА – ЛИУВИЛЛЯ

Исследуются вопросы приближенной управляемости за фиксированное и за свободное время класса распределенных систем управления, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями дробного порядка в рефлексивных банаховых пространствах. Предполагается, что оператор при дробной производной Римана — Лиувилля имеет нетривиальное ядро, т. е. уравнение является вырожденным, а пара операторов в уравнении порождает аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов соответствующего однородного уравнения. Начальное состояние системы управления задается условиями типа Шоуолтера — Сидорова. Для получения критерия приближенной управляемости система редуцирована к совокупности двух подсистем, одна из которых имеет тривиальный вид, а другая разрешена относительно дробной производной. Доказана эквивалентность приближенной управляемости системы и приближенной управляемости двух упомянутых подсистем. Найден критерий приближенной управляемости системы в терминах задающих ее операторов. Общие результаты использованы для получения критерия приближенной управляемости распределенной системы управления, динамика которой описывается линеаризованной квазистационарной системой уравнений фазового поля дробного порядка по времени, а также вырожденных систем рассматриваемого класса с конечномерным входом. 

1. Федоров В. Е., Авилович А. С. Задача типа Коши для вырожденного уравнения с производной Римана — Лиувилля в секториальном случае // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 2. С. 461–477.

2. Curtain R. F. The Salamon–Weiss class of well-posed infinite dimensional linear systems: a survey // IMA J. Math. Control Inform. 1997. V. 14, N 2. P. 207–223.

3. Шолохович Ф. А. Об управляемости линейных дианмических систем // Изв. УрГУ. 1998. № 10, вып. 1. C. 103–126.

4. Debbouche A., Baleanu D. Controllability of fractional evolution nonlocal impulsive quasilinear delayintegro-differential systems // Comput. Math. Appl. 2011. V. 62, N 3. P. 1442–1450.

5. Chalishajar D. N., Malar K., Karthikeyan K. Approximate controllability of abstract impulsive fractional neutral evolution equations with infinite delay in Banach spaces // Electron. J. Differ. Equ. 2013. V. 2013, N 275. P. 1–21.

6. Федоров В. Е., Рузакова О. А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными операторами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. С. 54–57.

7. Федоров В. Е., Рузакова О. А. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. 1137–1139.

8. Федоров В. Е., Рузакова О. А. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах // Мат. заметки. 2003. Т. 74, вып. 4. С. 618–628.

9. Рузакова О. А., Федоров В. Е. Об ε-управляемости линейных уравнений, не разрешенных относительно производной в банаховых пространствах // Вычислит. технологии. 2005. Т. 10, № 5. С. 90–102.

10. Федоров В. Е., Шкляр Б. Полная нуль-управляемость вырожденных эволюционных уравнений скалярным управлением // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 12. С. 137–156.

11. Плеханова М. В., Федоров В. Е. Оптимальное управление вырожденными распределенными системами. Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2013.

12. Плеханова М. В., Федоров В. Е. Об управляемости вырожденных распределенных систем // Уфим. мат. журн. 2014. Т. 6, № 2. С. 78–98.

13. Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., Baybulatova G. D. Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1907. P. 0200091–020009-14.

14. Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Туров М. М. Бесконечномерная и конечномерная ε-управляемость одного класса вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, № 1. С. 5–26.

15. Fedorov V. E., Gordievskikh D. M. Approximate controllability of strongly degenerate fractional order system of distributed control // IFAC-PapersOnLine. 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization CAO 2018 (Yekaterinburg, Russia, Oct. 15–19, 2018). 2018. V. 51, N 32. P. 675–680.

16. Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш А. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 93–107.

17. Романова Е. А., Федоров В. Е. Разрешающие операторы линейного вырожденного эволюционного уравнения с производной Капуто. Секториальный случай // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 58–72.

18. Федоров В. Е., Романова Е. А. Неоднородное эволюционное уравнение дробного порядка в секториальном случае // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и ее прил. Темат. обзоры. 2018. Т. 149. С. 103–112.

19. Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces: Thes. ... Doct. Phil. Eindhoven: Eindhoven Univ. Tech., Univ. Press Facilities, 2001.

20. Solomyak M. Z. Applications of the theory of semigroups to the study of differential equations in Banach spaces // Dokl. Math. 1958. V. 122, N 5. P. 766–769.

21. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Изд-во ЛКИ, 2007.

22. Fedorov V. E. A class of fractional order semilinear evolutions in Banach spaces // Integral equations and their applications. Proc. University Network Seminar on the occasion of the 3rd Mongolia–Russia–Vietnam Workshop on NSIDE 2018 (Hanoi Math. Soc.). Hung Yen: Hung Yen Univ. Tech. Edu., 2018. P. 11–20.

23. Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 3. С. 461–471.

24. Плотников П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 3. С. 651–669.

25. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967.