matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2019.102.31511matmess-266Research ArticleМАТЕМАТИКАКРИТЕРИЙ ПРИБЛИЖЕННОЙ УПРАВЛЯЕМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДЕННЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ С ПРОИЗВОДНОЙ РИМАНА – ЛИУВИЛЛЯCRITERION OF THE APPROXIMATE CONTROLLABILITY OF A CLASS OF DEGENERATE DISTRIBUTED SYSTEMS WITH THE RIEMANN–LIOUVILLE DERIVATIVEФедоровВ. Е.FedorovV. E.

Федоров Владимир Евгеньевич

Челябинский государственный университет, кафедра математического анализа, ул. Братьев Кашириных, 129, Челябинск 454001;

Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), лаборатория функциональных материалов, пр. Ленина, 76, Челябинск 454080 

Vladimir E. Fedorov

Mathematical Analysis Department, Chelyabinsk State University, 129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk, Russia 454001;

Functional Materials Laboratory, South Ural State University (National Research University), 76 Lenin Avenue, Chelyabinsk, Russia 454080

kar@csu.ruГордиевскихД. М.GordievskikhD. M.

Гордиевских Дмитрий Михайлович

Шадринский государственный педагогический университет, кафедра физико-математического и информационно-технологического образования, ул. Карла Либкнехта, 3, Шадринск, Курганская область 641870

Dmitriy M. Gordievskikh

Shadrinsk State Pedagogical University, 3 Karl Liebknecht Street, Shadrinsk, Russia 641870 

dm_gordiev@mail.ruБалеануД.BaleanuD.

Балеану Думитру

Университет Чанкайа, отделение математики и компьютерных наук, TR-06530, Анкара, Турция;

Институт космических наук, R-077125 Бухарест, Румыния 

Dumitru Baleanu

Department of Mathematics and Computer Sciences, Faculty of Arts and Sciences, C¸ankaya University, C¸ukurambar Mah. Ogˇretmenler Cad. No: 14, 06530 C¸ankaya, Ankara, Turkey;¨

Institute of Space Science, R-077125 Ma˘gurle-Bucharest, Romania 

dumitru.baleanu@gmail.comТашК.Ta¸sK.

Таш Кенан

Университет Чанкайа, отделение математики и компьютерных наук, TR-06530, Анкара, Турция 

Kenan Ta¸s

Department of Mathematics and Computer Sciences, Faculty of Arts and Sciences, C¸ankaya University,C¸ukurambar Mah. Ogˇretmenler Cad. No: 14, 06530 C¸ankaya, Ankara, Turkey

kenantas@gmail.comЧелябинский государственный университет, кафедра математического анализа; Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), лаборатория функциональных материаловРоссияMathematical Analysis Department,Chelyabinsk State University; Functional Materials Laboratory, South Ural State University (National Research University);Russian FederationШадринский государственный педагогический университет, кафедра физико-математического и информационно-технологического образованияРоссияShadrinsk State Pedagogical UniversityRussian FederationУниверситет Чанкайа, отделение математики и компьютерных наук; Институт космических наукРумынияDepartment of Mathematics and Computer Sciences, Faculty of Arts and Sciences; C¸ankaya UniversityRomaniaУниверситет Чанкайа, отделение математики и компьютерных наукТурцияDepartment of Mathematics and Computer Sciences, Faculty of Arts and Sciences, C¸ankaya UniversityTurkey2019200420262624159Copyright © Федоров В.Е., Гордиевских Д.М., Балеану Д., Таш К., 20262026Федоров В.Е., Гордиевских Д.М., Балеану Д., Таш К.Fedorov V.E., Gordievskikh D.M., Baleanu D., Ta¸s K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/266

Исследуются вопросы приближенной управляемости за фиксированное и за свободное время класса распределенных систем управления, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями дробного порядка в рефлексивных банаховых пространствах. Предполагается, что оператор при дробной производной Римана — Лиувилля имеет нетривиальное ядро, т. е. уравнение является вырожденным, а пара операторов в уравнении порождает аналитическое в секторе разрешающее семейство операторов соответствующего однородного уравнения. Начальное состояние системы управления задается условиями типа Шоуолтера — Сидорова. Для получения критерия приближенной управляемости система редуцирована к совокупности двух подсистем, одна из которых имеет тривиальный вид, а другая разрешена относительно дробной производной. Доказана эквивалентность приближенной управляемости системы и приближенной управляемости двух упомянутых подсистем. Найден критерий приближенной управляемости системы в терминах задающих ее операторов. Общие результаты использованы для получения критерия приближенной управляемости распределенной системы управления, динамика которой описывается линеаризованной квазистационарной системой уравнений фазового поля дробного порядка по времени, а также вырожденных систем рассматриваемого класса с конечномерным входом. 

The issues of approximate controllability in fixed time and in free time of a class of distributed control systems whose dynamics are described by linear differential equations of fractional order in reflexive Banach spaces are investigated. It is assumed that the operator at the fractional Riemann–Liouville derivative has a non-trivial kernel, i. e., the equation is degenerate, and the pair of operators in the equation generates an analytic in a sector resolving family of operators of the corresponding homogeneous equation. The initial state of the control system is set by the Showalter–Sidorov type conditions. To obtain a criterion for the approximate controllability, the system is reduced to a set of two subsystems, one of which has a trivial form and the another is solved with respect to the fractional derivative. The equivalence of the approximate controllability of the system and of the approximate controllability of its two mentioned subsystems is proved. A criterion of the approximate controllability of the system is obtained in terms of the operators from the equation. The general results are used to find a criterion for the approximate controllability for a distributed control system, whose dynamics is described by the linearized quasistationary system of the phase field equations of a fractional order in time, as well as degenerate systems of the class under consideration with finite-dimensional input. 

приближенная управляемостьвырожденное эволюционное уравнениедробная производная Римана — Лиувилляаналитическое в секторе разрешающее семейство операторовapproximate controllabilitydegenerate evolution equationfractional Riemann–Liouville derivativeanalytic in a sector resolving family of operatorsИсследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № 19–41–450001, поддержке Правительства РФ (акт 211, контракт 02.A03.21.0011), а также при поддержке Минобрнауки России (госзадание 1.6462.2017/БЧ).ReferencesФедоров В. Е., Авилович А. С. Задача типа Коши для вырожденного уравнения с производной Римана — Лиувилля в секториальном случае // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 2. С. 461–477.Федоров В. Е., Авилович А. С. Задача типа Коши для вырожденного уравнения с производной Римана — Лиувилля в секториальном случае // Сиб. мат. журн. 2019. Т. 60, № 2. С. 461–477.Curtain R. F. The Salamon–Weiss class of well-posed infinite dimensional linear systems: a survey // IMA J. Math. Control Inform. 1997. V. 14, N 2. P. 207–223.Curtain R. F. The Salamon–Weiss class of well-posed infinite dimensional linear systems: a survey // IMA J. Math. Control Inform. 1997. V. 14, N 2. P. 207–223.Шолохович Ф. А. Об управляемости линейных дианмических систем // Изв. УрГУ. 1998. № 10, вып. 1. C. 103–126.Шолохович Ф. А. Об управляемости линейных дианмических систем // Изв. УрГУ. 1998. № 10, вып. 1. C. 103–126.Debbouche A., Baleanu D. Controllability of fractional evolution nonlocal impulsive quasilinear delayintegro-differential systems // Comput. Math. Appl. 2011. V. 62, N 3. P. 1442–1450.Debbouche A., Baleanu D. Controllability of fractional evolution nonlocal impulsive quasilinear delayintegro-differential systems // Comput. Math. Appl. 2011. V. 62, N 3. P. 1442–1450.Chalishajar D. N., Malar K., Karthikeyan K. Approximate controllability of abstract impulsive fractional neutral evolution equations with infinite delay in Banach spaces // Electron. J. Differ. Equ. 2013. V. 2013, N 275. P. 1–21.Chalishajar D. N., Malar K., Karthikeyan K. Approximate controllability of abstract impulsive fractional neutral evolution equations with infinite delay in Banach spaces // Electron. J. Differ. Equ. 2013. V. 2013, N 275. P. 1–21.Федоров В. Е., Рузакова О. А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными операторами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. С. 54–57.Федоров В. Е., Рузакова О. А. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно p-радиальными операторами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. С. 54–57.Федоров В. Е., Рузакова О. А. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. 1137–1139.Федоров В. Е., Рузакова О. А. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. 1137–1139.Федоров В. Е., Рузакова О. А. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах // Мат. заметки. 2003. Т. 74, вып. 4. С. 618–628.Федоров В. Е., Рузакова О. А. Одномерная и двумерная управляемость уравнений соболевского типа в банаховых пространствах // Мат. заметки. 2003. Т. 74, вып. 4. С. 618–628.Рузакова О. А., Федоров В. Е. Об ε-управляемости линейных уравнений, не разрешенных относительно производной в банаховых пространствах // Вычислит. технологии. 2005. Т. 10, № 5. С. 90–102.Рузакова О. А., Федоров В. Е. Об ε-управляемости линейных уравнений, не разрешенных относительно производной в банаховых пространствах // Вычислит. технологии. 2005. Т. 10, № 5. С. 90–102.Федоров В. Е., Шкляр Б. Полная нуль-управляемость вырожденных эволюционных уравнений скалярным управлением // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 12. С. 137–156.Федоров В. Е., Шкляр Б. Полная нуль-управляемость вырожденных эволюционных уравнений скалярным управлением // Мат. сб. 2012. Т. 203, № 12. С. 137–156.Плеханова М. В., Федоров В. Е. Оптимальное управление вырожденными распределенными системами. Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2013.Плеханова М. В., Федоров В. Е. Оптимальное управление вырожденными распределенными системами. Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2013.Плеханова М. В., Федоров В. Е. Об управляемости вырожденных распределенных систем // Уфим. мат. журн. 2014. Т. 6, № 2. С. 78–98.Плеханова М. В., Федоров В. Е. Об управляемости вырожденных распределенных систем // Уфим. мат. журн. 2014. Т. 6, № 2. С. 78–98.Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., Baybulatova G. D. Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1907. P. 0200091–020009-14.Fedorov V. E., Gordievskikh D. M., Baybulatova G. D. Controllability of a class of weakly degenerate fractional order evolution equations // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1907. P. 0200091–020009-14.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Туров М. М. Бесконечномерная и конечномерная ε-управляемость одного класса вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, № 1. С. 5–26.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Туров М. М. Бесконечномерная и конечномерная ε-управляемость одного класса вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Челяб. физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, № 1. С. 5–26.Fedorov V. E., Gordievskikh D. M. Approximate controllability of strongly degenerate fractional order system of distributed control // IFAC-PapersOnLine. 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization CAO 2018 (Yekaterinburg, Russia, Oct. 15–19, 2018). 2018. V. 51, N 32. P. 675–680.Fedorov V. E., Gordievskikh D. M. Approximate controllability of strongly degenerate fractional order system of distributed control // IFAC-PapersOnLine. 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization CAO 2018 (Yekaterinburg, Russia, Oct. 15–19, 2018). 2018. V. 51, N 32. P. 675–680.Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш А. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 93–107.Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш А. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, № 2. С. 93–107.Романова Е. А., Федоров В. Е. Разрешающие операторы линейного вырожденного эволюционного уравнения с производной Капуто. Секториальный случай // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 58–72.Романова Е. А., Федоров В. Е. Разрешающие операторы линейного вырожденного эволюционного уравнения с производной Капуто. Секториальный случай // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4. С. 58–72.Федоров В. Е., Романова Е. А. Неоднородное эволюционное уравнение дробного порядка в секториальном случае // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и ее прил. Темат. обзоры. 2018. Т. 149. С. 103–112.Федоров В. Е., Романова Е. А. Неоднородное эволюционное уравнение дробного порядка в секториальном случае // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и ее прил. Темат. обзоры. 2018. Т. 149. С. 103–112.Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces: Thes. ... Doct. Phil. Eindhoven: Eindhoven Univ. Tech., Univ. Press Facilities, 2001.Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces: Thes. ... Doct. Phil. Eindhoven: Eindhoven Univ. Tech., Univ. Press Facilities, 2001.Solomyak M. Z. Applications of the theory of semigroups to the study of differential equations in Banach spaces // Dokl. Math. 1958. V. 122, N 5. P. 766–769.Solomyak M. Z. Applications of the theory of semigroups to the study of differential equations in Banach spaces // Dokl. Math. 1958. V. 122, N 5. P. 766–769.Иосида К. Функциональный анализ. М.: Изд-во ЛКИ, 2007.Иосида К. Функциональный анализ. М.: Изд-во ЛКИ, 2007.Fedorov V. E. A class of fractional order semilinear evolutions in Banach spaces // Integral equations and their applications. Proc. University Network Seminar on the occasion of the 3rd Mongolia–Russia–Vietnam Workshop on NSIDE 2018 (Hanoi Math. Soc.). Hung Yen: Hung Yen Univ. Tech. Edu., 2018. P. 11–20.Fedorov V. E. A class of fractional order semilinear evolutions in Banach spaces // Integral equations and their applications. Proc. University Network Seminar on the occasion of the 3rd Mongolia–Russia–Vietnam Workshop on NSIDE 2018 (Hanoi Math. Soc.). Hung Yen: Hung Yen Univ. Tech. Edu., 2018. P. 11–20.Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 3. С. 461–471.Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, № 3. С. 461–471.Плотников П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 3. С. 651–669.Плотников П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 3. С. 651–669.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.