Излагается применение метода разложения по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора к решению одной нестационарной задачи теплообмена с фазовым переходом на примере процесса промерзания некоторой сплошной среды. Получено приближенно-аналитическое решение задачи в неавтомодельной постановке при специальных начальных условиях. Решение задачи начинается с ее преобразования к области с неподвижными границами, затем для решения преобразованной задачи строится конечное интегральное преобразование с неизвестным ядром, нахождение которого связано с постановкой и решением соответствующей спектральной задачи через вырожденные гипергеометрические функции. Находятся собственные значения и собственные функции, а также формула обращения для введенного интегрального преобразования, что позволяет выписать аналитическое решение задачи. В ходе решения задачи устанавливается параболический закон движения границы раздела двух фаз. Задачи подобного типа возникают при математическом моделировании процессов теплообмена в строительстве, особенно в районах вечной мерзлоты, в нефтегазодобыче при бурении и эксплуатации скважин, в металлургии и т.д. 

В данной работе, являющейся продолжением [1], устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка с боковой границей, принадлежащей классу C^1+λ, λ > 0, вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа L₂. Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Ф. Рисса и Ж. Литтлвуда и Р. Пэли, в которых даются критерии предельных значений в L_p, p > 1, аналитических в единичном круге функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина [2–4]. Условие гладкости границы (∂Q∈C²) можно ослабить (см. [5]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах [4,6–8]. При этом, как показано в работе [7], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [9] и Литтлвуда — Пэли [10,11].

Предлагаемая в работе модель фирмы представляет собой задачу оптимального управления, в которой критерием качества управления выступает прибыль за фиксированный промежуток времени — интеграл от функции прибыли по конечному интервалу. В качестве функции прибыли здесь рассматривается разность между выпуском, определяемым неоклассической производственной функцией, и затратами, которые задаются функцией, являющейся решением вспомогательной задачи. При этом некоторые дополнительные ограничения, накладываемые на производственную функцию и условия вспомогательной задачи для определения функции затрат, учитывают влияние управленческой деятельности и отражают особенности функционирования фирмы в условиях строгой регламентации ее работы со стороны регулятора. В частности, предполагается, что управленческая деятельность оказывает влияние как на объем производства, так и на величину затрат и в рамках данной постановки максимизация прибыли является результатом оптимального распределения управленческой деятельности между управлением производством и деятельностью по снижению затрат.

На основе принципа максимума Понтрягина в работе установлены некоторые свойства решений поставленной задачи управления. В частности, при достаточно общих предположениях показано, что оптимальное управление имеет нулевой режим в финальной стадии, и найдены точные условия, при которых нулевой режим управления является оптимальным на всем рассматриваемом промежутке времени. 

Исследуется однозначная разрешимость линейных обратных задач с независящим от времени неизвестным коэффициентом для эволюционного уравнения в банаховом пространстве с вырожденным оператором при дробной производной Герасимова — Капуто. Предполагается, что пара операторов в уравнении (при дробной производной и при искомой функции) порождает разрешающее семейство операторов соответствующего вырожденного линейного однородного уравнения дробного порядка. Исходная задача редуцирована к системе двух задач: задача для алгебраического уравнения на подпространстве вырождения исходного уравнения и задача для уравнения, разрешенного относительно дробной производной, на дополнении к подпространству вырождения. Продемонстрировано два подхода. Первый из них предполагает исследование обратной задачи для разрешенного относительно производной уравнения и прямой задачи для алгебраического уравнения. При осуществлении второго подхода сначала исследуется обратная задача для уравнения на подпространстве вырождения, после чего исследуется прямая задача для второго уравнения. Абстрактные результаты использованы при исследовании начально-краевых задач для одного класса уравнений в частных производных дробного порядка по времени с неизвестным коэффициентом, зависящим от пространственных переменных.

В работе рассматриваются задачи теплопереноса с учетом фазовых переходов влаги в промерзающем/протаивающем грунте. Математическая модель процессов теплопереноса с фазовым переходом описывается классической моделью Стефана и представляет собой нелинейное параболическое уравнение. Для решения задачи предложен метод численного усреднения для нелинейной задачи с использованием эффективных коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости для талой и мерзлой зон. Вычисления эффективного тензора теплопроводности проводится в локальных областях (ячейки грубой сетки) и используются при построении аппроксимации на грубой сетке методом конечных элементов. Численная реализация конечно-элементной аппроксимации проведена с помощью вычислительной библиотеки FEniCS. Представлены численные результаты для двумерной и трехмерной модельных задач.

Модифицированный вариант линейной теории пороупругости, описываемый тремя упругими параметрами, применяется к математическому моделированию сланцевого разбухания с водным электролитом. Предполагается, что сланец ведет себя как изотропная идеальная ионная мембрана, и в этом случае разбухание зависит только от полного напряжения и от химического потенциала воды в порах горной породы. Получена формула для коэффициента Пуассона, выражающаяся тремя упругими параметрами, физическими плотностями насыщенной жидкостью пористой среды, а также коэффициентом пористости. Показано, что коэффициент диффузии является функцией коэффициента межфазного трения (проницаемости) и обратно пропорционален коэффициенту пористости. Получены формулы для анализа плоской деформации вокруг ствола скважины. 

Приводится математическое моделирование комплексной мультифизичной задачи, актуальной для территорий Крайнего Севера и Арктики. Актуальность данной задачи характеризируется важностью процесса просачивания при формировании и оттаивании слоя вечной мерзлоты. Современные прикладные задачи по большей части требуют учета сложных геометрий, а также большого количества разных процессов и их взаимовлияния. Мультифизичная модель состоит из уравнения Ричардса для описания процесса просачивания, модели двойной пористости для описания естественной трещиноватости грунта, задачи Стефана для описания температурного режима грунта в условиях криолитозоны. Вычислительный алгоритм базируется на конечно-элементной аппроксимации по пространству на триангулированных сетках Делоне и использовании схемы расщепления по времени с применением линеаризации с предыдущего временного слоя.