О СУЩЕСТВОВАНИИ ГРАНИЧНЫХ И НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТЯХ С ЛЯПУНОВСКОЙ ГРАНИЦЕЙ

В данной работе, являющейся продолжением [1], устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка с боковой границей, принадлежащей классу C^1+λ, λ > 0, вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа L₂. Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Ф. Рисса и Ж. Литтлвуда и Р. Пэли, в которых даются критерии предельных значений в L_p, p > 1, аналитических в единичном круге функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина [2–4]. Условие гладкости границы (∂Q∈C²) можно ослабить (см. [5]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах [4,6–8]. При этом, как показано в работе [7], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [9] и Литтлвуда — Пэли [10,11].

1. Петрушко И. М., Капицына Т. В. О первой смешанной задаче в Lp, p> 1, для вырождающихся параболических уравнений // Вестн. Моск. энергет. ин-та. 2011. № 6. С. 143–154.

2. Михайлов В. П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей // Мат. сб. 1976. Т. 101, № 2. С. 163–188.

3. Михайлов В. П. О существовании предельных значений бигармонической функции на границе области // Докл. АН. 2004. Т. 395, № 4. С. 452–454.

4. Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях в Lp, p> 1, решений эллиптических уравнений // Мат. сб. 1979. Т. 108, № 1. С. 3–21.

5. Петрушко И. М. О граничных значениях в Lp, p> 1, решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей // Мат. сб. 1983. Т. 120, № 4. С. 569–588.

6. Гущин А. К., Михайлов В. П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 787–810.

7. Гущин А. К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 7. С. 53–90.

8. Петрушко И. М. О смешанной задаче E для вырождающихся на границе области параболических уравнений 2-го порядка // Мат. заметки СВФУ. 2019. Т. 26, № 3. С. 57–70.

9. Riesz F. Uber die Randwerte einer analytischen Funktion // Math. Z. 1923. Bd 18, Heft 1.¨

10. S. 87–95.

11. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. II // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1936. V. 42. P. 52–89.

12. Littlewood J., Paley R. Theorems on Fourier series and power series. III // Proc. Lond. Math. Soc. (3). 1937. V. 43. P. 105–126.

13. Miranda K. Equazioni alle derivate parziali di tipo ellitico. Berlin: Springer-Verl., 1970.

14. Giraud G. G´en´eralization des probl`emes sur les operations du type elliptique // Bull. Sci. Math. 1932. V. 56. P. 248–272; 281–312; 316–352.

15. Капицына Т. В. О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях // Мат. заметки СВФУ. 2018. Т. 25, № 4. C. 15–33.

16. Петрушко И. М. О граничных и начальных условиях в Lp, p> 1, решений параболических уравнений // Мат. сб. 1984. Т. 125, № 4. C. 489–521.

17. Петрушко И. М. О существовании граничных значений для решений вырождающихся уравнений эллиптического типа // Мат. сб. 1999. Т. 190, № 7. C. 41–72.