В работе модифицированные уравнения упругого слоя используются для построения компактных конечных элементов, условия сопряжения между которыми формулируются в виде условий непрерывности усилий и моментов на их гранях. Предложенные конечные элементы можно эффективно использовать при численном решении задач о напряженно-деформированном состоянии слоистых конструкций, деформируемых тел, содержащих разрезы и трещины, поскольку компактные элементы являются естественными регуляризаторами в задачах, содержащих особенности в напряженном состоянии.

Приведено сравнение результатов численного решения с аналитическим решением задачи об определении напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины, расположенной в упругой плоскости. Численное решение задачи получено с использованием итерационной процедуры самоуравновешенных невязок.

Рассмотрен вопрос о разрешимости, единственности и некоторых качественных свойствах решений обратных задач об определении точечных источников (правой части специального вида) в одномерном параболическом уравнении. В качестве данных переопределения взяты значения решения в некотором наборе точек. Приведены примеры, показывающие, что без дополнительных условий на взаимное расположение источников и точек измерений единственность может отсутствовать. Получена асимптотическая формула определения координат одного источника по двум замерам.

Одной из наиболее актуальных задач цифровой обработки изображений является задача поиска новых математических подходов к анализу и обработке многоканальных изображений (в том числе данных дистанционного зондирования Земли). Актуальность этих исследований определена необходимостью оптимизации существующих методов цифровой обработки изображений, повышения эффективности и качества результатов, получаемых в результате анализа цифрового сигнала.

В работе предложен подход к обработке данных дистанционного зондирования Земли, основанный на определенных инвариантных интегрально-геометрических характеристиках цифрового изображения. Инвариантные характеристики играют важную роль в обработке цифрового сигнала и широко используются в задачах распознавания образов, при поиске структурных соответствий по образцу, в задачах дистанционного зондирования, геологических исследованиях. В работе также представлено описание программного модуля, разработанного в системе MatLab в целях анализа изображений и вычисления указанных числовых характеристик. 

Решение прямой кинематической задачи сейсмики — важный этап обработки данных полевых измерений в сейсмологии и сейсморазведке, например, при решении обратной кинематической задачи сейсмики методом нелинейной лучевой сейсмотомографии [1], в методе пространственно-временной миграции Кирхгофа и др. К настоящему моменту существует несколько подходов к решению данной задачи. К наиболее популярным из них относятся: 1) методы, основанные на решении двухточечной краевой задачи; 2) метод волновых фронтов; 3) разностные методы решения уравнения эйконала и др. [2,3]. Предлагаемый в работе метод относится к методам лучевого трассирования [4] и преодолевает некоторые ограничения, присущие вышеперечисленным методам.

Основой подхода, предложенного в данной работе, является итерационный метод Ньютона — Канторовича. Алгоритм трехмерной пристрелки прост в реализации и допускает «почти» линейное распараллеливание.

Вопросы сходимости метода Ньютона в применении к поставленной задаче в данной работе не рассматриваются. Также не рассматриваются вопросы применимости метода при наличии каустик, зон тени, дифракции. 

Рассматривается возможность построения стохастических вариантов для известных моделей, описываемых системой дифференциальных уравнений и обладающих известным первым интегралом. Предложенный метод стохастизации отпирается на понятие первого интеграла системы стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) и теорему о построении системы СДУ на основе первого интеграла. Рассматриваются три модели — модель распространения инфекционных заболеваний (SIR-модель), модель «хищник — жертва» и модель многостадийной полиферментной реакции. Стохастизация осуществляется за счет внесения трех дополнительных слагаемых. Первое слагаемое — диффузионное, обусловленное влиянием винеровского процесса. Второе описывает мгновенный качественный переход, связанный с реализацией пуассоновского процесса. Третье слагаемое — дополняющая функция для коэффициента сноса. Для первых двух моделей построены варианты систем диффузионных уравнений Ито со скачками, для третьей — без скачков. Для построения коэффициентов СДУ используются функция — первый интеграл и несколько дополнительных произвольных функций. Показано, что выбор дополнительных функций позволяет построить систему уравнений с такими коэффициентами, чтобы решение этой системы удовлетворяло разумным ограничениям. Приведены примеры с численным решением построенных уравнений, которые подтверждают сохранение значения динамического инварианта при любой реализации решения СДУ.

Изучение миграции радона в геологических средах актуально для поиска и оконтуривания нефтяных и газовых месторождений, поиска урановых и ториевых руд, экологического картирования при выборе площадок под строительство промышленных и жилых сооружений, прогнозирования событий в зонах сейсмической активности. В работе рассматривается математическая модель трехмерной задачи диффузии-адвекции радона в кусочно-постоянных слоистых средах с включениями, учитывающая анизотропию диффузионных свойств подобластей геологической среды. Описывается комбинированный способ решения задачи, основанный на сочетании методов интегральных преобразований Лапласа, интегральных представлений с построением функции Грина вмещающей слоистой среды и интегральных уравнений Фредгольма II рода, возникающих на границах локальных включений. Приводятся результаты сравнительного сопоставления данных вычислительного и натурного экспериментов по исследованию процессов переноса радона.

На основе геоимитационного подхода разработана новая модель пространственной структуры полей термокарстовых озер, учитывающая озера во всем диапазоне их размеров (от 20 м² до 200 км²) и извилистость их береговых границ. Предложенная модель позволяет учесть и малые озера, которые рассматриваются как интенсивные источники эмиссии метана и углекислого газа в атмосферу из термокарстовых озер. Определена структура модели в виде совокупности плоских фигур со случайным местоположением координат центров озер и случайными площадью и степенью извилистости границ. Установлено, что полученная по данным спутниковых измерений гистограмма распределения степени извилистости может быть принята, согласно критерию Пирсона, соответствующей логнормальному закону с высокой вероятностью. На основе совместного использования спутниковых снимков среднего и высокого пространственного разрешения разработана эмпирическая гистограмма распределения озер по размерам применительно к территории вечной мерзлоты Западной Сибири. Результаты проверки соответствия эмпирической гистограммы теоретическому логнормальному закону показали, что она соответствует логнормальному закону согласно критерию Пирсона на уровне значимости 0,99. Для программной реализации геоимитационной модели предложено в рамках метода статистических испытаний (Монте-Карло) генерировать последовательности четверок псевдослучайных чисел, первая пара которых имитирует случайные координаты центров озер, а вторая пара — случайные степень извилистости и площадь озера. Разработаны алгоритмы генерирования последовательностей псевдослучайных чисел, позволяющие создать программные датчики чисел, отображающих случайные степень извилистости и площадь озер, распределенных по логнормальному закону.