Построены математические модели функционирования двух малокомпонентных генных сетей, участвующих в регуляции суточных ритмов в живых организмах посредством комбинаций положительных и отрицательных обратных связей между их компонентами. Доказано, что фазовые портреты этих моделей, представленных в виде нелинейных динамических систем биохимической кинетики, содержат в точности по одной стационарной точке. Установлено, что в обоих случаях при всех значениях параметров указанных динамических систем матрицы их линеаризаций в окрестностях стационарных точек имеют либо отрицательные собственные значения, либо собственные значения с отрицательными вещественными частями. Это означает, что стационарные точки рассмотренных систем устойчивы. Построены инвариантные окрестности этих точек, дано описание поведения траекторий обеих систем и биологическая интерпретация полученных результатов. 

Для модели Ланжевена динамики броуновской частицы с ортогональными к ее текущей скорости возмущениями в режиме, когда модуль скорости частицы становится постоянным, построено уравнение для характеристической функции ψ(t,λ) = M[exp(λ,x(t))/V = v(0)] положения x(t) броуновской частицы. При условии, что начальные данные x(0),v(0) независимые, найдено решение для характеристического уравнения. Формируется представление о фундаментальной системе решений уравнения для характеристической функции с использованием аппарата модифицированных функций Бесселя 1-го рода. Установлено, что решения носят затухающий характер по времени. Рассматриваются особенности поведения решений характеристического уравнения в зависимости от соотношения между коэффициентом стоксовского трения и интенсивностью винеровских возмущений, но при условии, что модуль начальной скорости движения частиц находится на многообразии, являющемся притягивающим для скорости. При наличии таких соотношений спектр функции ψ(t,λ) содержит области непрерывных значений по аргументу λ, где ψ(t,λ) — колебательный процесс, и область, в которой колебания отсутствуют. Полученные результаты подтверждают вывод о том, что модель динамики броуновской частицы, построенная на основе нетрадиционной физической трактовки уравнений Ланжевена — стохастических уравнений с ортогональными воздействиями, приводит к трактовке ансамбля броуновских частиц как системы, обладающей волновыми свойствами. Эти результаты согласуются с ранее полученным выводам о том, что при определенном согласовании коэффициентов в исходном стохастическом уравнении при условии малых значений случайных влияний и трения уравнения Ланжевена приводят к описанию плотности вероятности положения частицы на основе волновых уравнений. При больших значениях случайных воздействий и трения плотность вероятности является решением диффузионного уравнения с коэффициентом диффузии, меньшим по сравнению с моделью классической диффузии.

Изучается разрешимость краевых задач в цилиндрических областях

в которых p — целое неотрицательное число, h(t) — непрерывная на отрезке [0,T] функция такая, что ϕ(t) > 0 при t ∈ (0,T), ϕ(0) ≥ 0, ϕ(T) ≥ 0, — оператор Лапласа по пространственным переменным x₁,...,x_n. Особенностями изучаемых задач является то, что, несмотря на вырождение, граничные многообразия в них не освобождаются от несения краевых условий. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных (имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Кроме того, описываются некоторые возможные усиления и обобщения полученных результатов. 

Исследованы решения многомерного неавтономного дифференциального уравнения в частных производных произвольного порядка, содержащего старшую частную производную, произвольную нелинейность от неизвестной функции и степенные нелинейности по ее первым производным. Для исследования данного уравнения применяется метод разделения переменных. Рассмотрены случаи, когда правая часть уравнения может быть представлена в виде произведения функций, зависящих от некоторых подмножеств независимых переменных, и, в частности, функций одной переменной. При этом выполнена редукция данного уравнения к обыкновенным дифференциальным уравнениям либо к уравнениям в частных производных меньшей размерности. Получены частные решения степенного, экспоненциального и логарифмического видов, а также решение полиномиального вида, исследована их зависимость от параметров уравнения, найдены условия существования этих решений. Отдельно рассмотрен случай нелинейного неавтономного уравнения типа Бианки, содержащего однократное дифференцирование по каждой независимой переменной, и получены точные решения такого уравнения. 

The equilibrium problem for a two-dimensional elastic body containing a thin semirigid inclusion is considered. The inclusion delaminates from the elastic matrix, forming a crack; therefore, the problem is posed in a nonsmooth domain with a cut. The mathematical model of the delaminated thin semirigid inclusion was developed on the assumption that the rigidity of the material differs in different directions. The problem statement is presented both in the form of a variational inequality and in the form of a boundary value problem. The boundary condition on the crack faces has a form of inequality and, as a result, the problem is non-linear. Consequently, the construction of an algorithm for the numerical solution of the problem requires the use of additional analytical methods. The methods of domain decomposition, the method of Lagrange multipliers, and the finite element method are used. An algorithm for the numerical solution of the problem is constructed and a computational example is provided. 

На основе математического моделирования процесса оттаивания-промерзания вмещающего грунта подземного полиэтиленового трубопровода теплоснабжения с теплоизоляцией, эксплуатируемого в районах распространения многолетнемерзлых грунтов, предложена методика расчетного определения толщины слоя теплоизоляции и величины заглубления трубопровода из условия ежегодного установления нулевой изотермы вмещающего грунта к началу отопительного сезона на уровне границы деятельного слоя грунта. 

Two different approaches for solving a nonlinear coefficient inverse problem are investigated in this paper. As a classical approach, we use the finite element method to discretize the direct and inverse problems and solve the inverse problem by the conjugate gradient method. Meanwhile, we also apply the neural network approach to recover the coefficient of the inverse problem, which is to map measurements at some fixed points and the unknown coefficient. According to the results of applying the two approaches, our methods are shown to solve the nonlinear coefficient inverse problem efficiently, even with perturbed data.

Forward modeling of gravity field on the base of boundary-value problem solution is a promising technique against traditional summation methods. To calculate gravity of a body with known physical and geometrical properties, one can firstly solve a boundary-value problem for gravitational potential and then calculate its gradient. This approach is more common, but it requires two operations. Another approach is to solve a boundary value problem formulated directly for gravity itself. The main difficulties for methods based on boundary-value problem solution are proper boundary condition, domain size and domain discretization. For the first approach there are plenty of works dealing with these cases in contrast with the second approach. In this paper, authors discuss and compare boundary conditions of two types: the Dirichlet and Robin, in terms of approximation accuracy for the second approach using the finite element method. Calculation results are presented for a test problem, when the gravitational field is produced by a homogeneous body in the shape of a right rectangular prism. A more effective boundary condition is a Robin type condition derived from a simple asymptotic approximation of the gravitational field by the equivalent point mass.