RESOLVING OPERATORS OF A LINEAR DEGENERATE EVOLUTION EQUATION WITH CAPUTO DERIVATIVE. THE SECTORIAL CASE
Abstract
Unique solvability of the Cauchy problem for an equation in a Banach space with degenerate operator at the fractional Caputo derivative is studied. Previously found conditions of the existence of analytic in a sector resolving operators family for the equation with the degeneration on the kernel of the operator at the derivative is used. The form of the resolving operators is established. Under the satisfied conditions, the existence is shown for the unique solution of the Cauchy problem to the researched equation with initial data from the complement of the kernel of the operator at the derivative and the solution is presented using the resolving operators. The obtained results are applied to studying the linearized quasistationary time-fractional order system of the phase field equations.
About the Authors
V. E. Fedorov
Chelyabinsk State University;
Shadrinsk State Pedagogical University
Russian Federation
Russian Federation
Vladimir Evgen′evich Fedorov
Mathematical Analysis Department, Chelyabinsk State University, 129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk 454001, Russia;
Shadrinsk State Pedagogical University, 3 Karl Liebknecht st7, Shadrinsk 641870, Kurgan reg.
E. A. Romanova
Chelyabinsk State University
Russian Federation
Russian Federation
Elena Anatol′evna Romanova
Mathematical Analysis Department, Chelyabinsk State University, 129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk 454001, Russia
References
1. Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces. PhD thesis. Eindhoven Univ. Technology: Univ. Press Facilities, 2001.
2. Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш A. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, №2. C. 93–107.
3. Федоров В. Е., Гордиевских Д. М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2015. №1. С. 71–83.
4. Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Плеханова М. В. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, №10. С. 1367–1375.
5. Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 12–22.
6. Плеханова М. В. Квазилинейные уравнения, не разрешимые относительно старшей производной по времени // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, №4. С. 909–921.
7. Plekhanova M. V. Optimal control for quasilinear degenerate systems of higher order // J. Math. Sci. 2016. V. 219, N 2. P. 236–244.
8. Plekhanova M. V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative // Discrete Continuous Dyn. Syst. Ser. S. 2016. V. 9, N3. P. 833–847.
9. Plekhanova M. V. Distributed control problems for a class of degenerate semilinear evolution equations // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 312. P. 39–46.
10. Федоров В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, №5. С. 702–712.
11. Костич M., Федоров В. Е. Вырожденные дробные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах с σ-регулярной парой операторов // Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, №4. С. 100–113.
12. Kosti´c M. Abstract time-fractional equations: existence and growth of solutions // Fract. Calc. Appl. Anal. 2014. V. 14, N2. P. 301–316.
13. Kosti´c M., Li C.-G., Li M. Abstract multi-term fractional differential equations // Kragujevac J. Math. 2014. V. 38, N1. P. 51–71.
14. Li F., Liang J., Xu H. K. Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions // J. Math. Anal. Appl. 2012. V. 391, N2. P. 510– 525.
15. Wang J., Feˇckan M., Zhou Y. Controllability of Sobolev type fractional evolution systems // Dyn. Partial Differ. Equ. 2014. V. 11. P. 71–87.
16. Debbouche A., Nieto J. J. Sobolev type fractional abstract evolution equations with nonlocal conditions and optimal multi-controls // Appl. Math. Comput. 2014. V. 245, NC. P. 74–85.
17. Debbouche A., Torres Delfim F. M. Sobolev type fractional dynamic equations and optimal multi-integral controls with fractional nonlocal conditions // Fract. Calc. Appl. Anal. 2015. V. 18, N1. P. 95–121.
18. Caputo M. Linear Model of Dissipation Whose Q is Almost Frequancy Independent. II // Geophys. J. R. Astronom. Soc. 1967. V. 13. P. 529–539.
19. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Прикл. математика и механика. 1948. Т. 12, вып. 3. С. 251–259.
20. Pru¨ss J. Evolutionary integral equations and applications. Basel: Springer-Verl., 1993.
21. Плотников П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, №3. С. 651–669.
22. Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №3. С. 461–471.
Review
For citations:
Fedorov V.E., Romanova E.A. RESOLVING OPERATORS OF A LINEAR DEGENERATE EVOLUTION EQUATION WITH CAPUTO DERIVATIVE. THE SECTORIAL CASE. Mathematical notes of NEFU. 2016;23(4):58-72. (In Russ.)
Views:
22
JATS XML
Email this article 