matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосоваmatmess-405Research ArticleМАТЕМАТИКАРАЗРЕШАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ ЛИНЕЙНОГО ВЫРОЖДЕННОГО ЭВОЛЮЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ КАПУТО. СЕКТОРИАЛЬНЫЙ СЛУЧАЙRESOLVING OPERATORS OF A LINEAR DEGENERATE EVOLUTION EQUATION WITH CAPUTO DERIVATIVE. THE SECTORIAL CASEФедоровВ. Е.FedorovV. E.

Федоров Владимир Евгеньевич

Челябинский гос. университет, ул. Бр. Кашириных, 129, Челябинск 454001;

Шадринский гос. педагогический университет, ул. Карла Либкнехта, 3, Шадринск 641870, Курганской обл. 

Vladimir Evgen′evich Fedorov

Mathematical Analysis Department, Chelyabinsk State University, 129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk 454001, Russia;

Shadrinsk State Pedagogical University, 3 Karl Liebknecht st7, Shadrinsk 641870, Kurgan reg.

kar@csu.ruРомановаЕ. А.RomanovaE. A.

Романова Елена Анатольевна

Челябинский гос. университет, ул. Бр. Кашириных, 129, Челябинск 454001 

Elena Anatol′evna Romanova

Mathematical Analysis Department, Chelyabinsk State University, 129 Kashirin Brothers Street, Chelyabinsk 454001, Russia 

linux_21@mail.ruЧелябинский гос. университет; Шадринский гос. педагогический университетРоссияChelyabinsk State University; Shadrinsk State Pedagogical UniversityRussian FederationЧелябинский гос. университетРоссияChelyabinsk State UniversityRussian Federation2016060720262345872Copyright © Федоров В.Е., Романова Е.А., 20262026Федоров В.Е., Романова Е.А.Fedorov V.E., Romanova E.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/405

Исследуется однозначная разрешимость задачи Коши для уравнения в банаховом пространстве с вырожденным оператором при дробной производной Капуто. Используются найденные ранее условия существования аналитического в секторе семейства разрешающих операторов такого уравнения, вырождающихся на ядре оператора при производной, а также вид разрешающих операторов. При выполнении этих условий показано существование единственного решения задачи Коши для исследуемого уравнения при начальных данных из дополнения к ядру оператора при производной, решение представлено с использованием разрешающих операторов. Полученные результаты использованы при изучении линеаризованной квазистационарной системы уравнений фазового поля дробного порядка по времени.

Unique solvability of the Cauchy problem for an equation in a Banach space with degenerate operator at the fractional Caputo derivative is studied. Previously found conditions of the existence of analytic in a sector resolving operators family for the equation with the degeneration on the kernel of the operator at the derivative is used. The form of the resolving operators is established. Under the satisfied conditions, the existence is shown for the unique solution of the Cauchy problem to the researched equation with initial data from the complement of the kernel of the operator at the derivative and the solution is presented using the resolving operators. The obtained results are applied to studying the linearized quasistationary time-fractional order system of the phase field equations.

вырожденное эволюционное уравнениедробная производная Капутоаналитическое в секторе разрешающее семейство операторовзадача Кошиначально-краевая задачасистема уравнений в частных производныхdegenerate evolution equationfractional Caputo derivativeanalytic in a sector resolving operators familyCauchy probleminitial boundary value problemsystem of partial differential equationsReferencesBajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces. PhD thesis. Eindhoven Univ. Technology: Univ. Press Facilities, 2001.Bajlekova E. G. Fractional evolution equations in Banach spaces. PhD thesis. Eindhoven Univ. Technology: Univ. Press Facilities, 2001.Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш A. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, №2. C. 93–107.Федоров В. Е., Романова Е. А., Дебуш A. Аналитические в секторе разрешающие семейства операторов вырожденных эволюционных уравнений дробного порядка // Сиб. журн. чистой и прикл. математики. 2016. Т. 16, №2. C. 93–107.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2015. №1. С. 71–83.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений с дробной производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2015. №1. С. 71–83.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Плеханова М. В. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, №10. С. 1367–1375.Федоров В. Е., Гордиевских Д. М., Плеханова М. В. Уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором под знаком дробной производной // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, №10. С. 1367–1375.Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 12–22.Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 12–22.Плеханова М. В. Квазилинейные уравнения, не разрешимые относительно старшей производной по времени // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, №4. С. 909–921.Плеханова М. В. Квазилинейные уравнения, не разрешимые относительно старшей производной по времени // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56, №4. С. 909–921.Plekhanova M. V. Optimal control for quasilinear degenerate systems of higher order // J. Math. Sci. 2016. V. 219, N 2. P. 236–244.Plekhanova M. V. Optimal control for quasilinear degenerate systems of higher order // J. Math. Sci. 2016. V. 219, N 2. P. 236–244.Plekhanova M. V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative // Discrete Continuous Dyn. Syst. Ser. S. 2016. V. 9, N3. P. 833–847.Plekhanova M. V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to the highest-order derivative // Discrete Continuous Dyn. Syst. Ser. S. 2016. V. 9, N3. P. 833–847.Plekhanova M. V. Distributed control problems for a class of degenerate semilinear evolution equations // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 312. P. 39–46.Plekhanova M. V. Distributed control problems for a class of degenerate semilinear evolution equations // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 312. P. 39–46.Федоров В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, №5. С. 702–712.Федоров В. Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, №5. С. 702–712.Костич M., Федоров В. Е. Вырожденные дробные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах с σ-регулярной парой операторов // Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, №4. С. 100–113.Костич M., Федоров В. Е. Вырожденные дробные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах с σ-регулярной парой операторов // Уфим. мат. журн. 2016. Т. 8, №4. С. 100–113.Kosti´c M. Abstract time-fractional equations: existence and growth of solutions // Fract. Calc. Appl. Anal. 2014. V. 14, N2. P. 301–316.Kosti´c M. Abstract time-fractional equations: existence and growth of solutions // Fract. Calc. Appl. Anal. 2014. V. 14, N2. P. 301–316.Kosti´c M., Li C.-G., Li M. Abstract multi-term fractional differential equations // Kragujevac J. Math. 2014. V. 38, N1. P. 51–71.Kosti´c M., Li C.-G., Li M. Abstract multi-term fractional differential equations // Kragujevac J. Math. 2014. V. 38, N1. P. 51–71.Li F., Liang J., Xu H. K. Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions // J. Math. Anal. Appl. 2012. V. 391, N2. P. 510– 525.Li F., Liang J., Xu H. K. Existence of mild solutions for fractional integrodifferential equations of Sobolev type with nonlocal conditions // J. Math. Anal. Appl. 2012. V. 391, N2. P. 510– 525.Wang J., Feˇckan M., Zhou Y. Controllability of Sobolev type fractional evolution systems // Dyn. Partial Differ. Equ. 2014. V. 11. P. 71–87.Wang J., Feˇckan M., Zhou Y. Controllability of Sobolev type fractional evolution systems // Dyn. Partial Differ. Equ. 2014. V. 11. P. 71–87.Debbouche A., Nieto J. J. Sobolev type fractional abstract evolution equations with nonlocal conditions and optimal multi-controls // Appl. Math. Comput. 2014. V. 245, NC. P. 74–85.Debbouche A., Nieto J. J. Sobolev type fractional abstract evolution equations with nonlocal conditions and optimal multi-controls // Appl. Math. Comput. 2014. V. 245, NC. P. 74–85.Debbouche A., Torres Delfim F. M. Sobolev type fractional dynamic equations and optimal multi-integral controls with fractional nonlocal conditions // Fract. Calc. Appl. Anal. 2015. V. 18, N1. P. 95–121.Debbouche A., Torres Delfim F. M. Sobolev type fractional dynamic equations and optimal multi-integral controls with fractional nonlocal conditions // Fract. Calc. Appl. Anal. 2015. V. 18, N1. P. 95–121.Caputo M. Linear Model of Dissipation Whose Q is Almost Frequancy Independent. II // Geophys. J. R. Astronom. Soc. 1967. V. 13. P. 529–539.Caputo M. Linear Model of Dissipation Whose Q is Almost Frequancy Independent. II // Geophys. J. R. Astronom. Soc. 1967. V. 13. P. 529–539.Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Прикл. математика и механика. 1948. Т. 12, вып. 3. С. 251–259.Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // Прикл. математика и механика. 1948. Т. 12, вып. 3. С. 251–259.Pru¨ss J. Evolutionary integral equations and applications. Basel: Springer-Verl., 1993.Pru¨ss J. Evolutionary integral equations and applications. Basel: Springer-Verl., 1993.Плотников П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, №3. С. 651–669.Плотников П. И., Клепачева А. В. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, №3. С. 651–669.Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №3. С. 461–471.Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, №3. С. 461–471.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.