ON THE SOLUTION REGULARITY OF AN EQUILIBRIUM PROBLEM FOR THE TIMOSHENKO PLATE HAVING AN INCLINED CRACK

The equilibrium problem for an transversely isotropic elastic plate (Timoshenko model) with an inclined crack is studied. It is supposed that the crack does not touch the external boundary. For initial state, we assume that opposite crack faces are in contact with each other on a frictionless crack surface. Herewith, the crack is described with the use of a surface satisfying certain assumptions. On the crack curve defining the crack in the middle plane, we impose a nonlinear boundary condition as an inequality describing the nonpenetration of the opposite crack faces. It is assumed that on the exterior boundary of the cracked elastic plate the homogeneous Dirichlet boundary conditions are prescribed. We establish additional smoothness of the solution in comparison with that given in the variational statement. We prove that the solution functions are infinitely smooth under additional assumptions on the function of external loads and the functions of displacements near the curve describing the inclined crack. 

1. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

2. Работнов Ю. И. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

3. Левин В. А., Морозов Е. М. Матвиенко Ю. Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004.

4. Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981.

5. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

6. Хлуднев А. М. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину // Прикл. механика и техн. физика. 1997. T. 38, № 5. C. 117–121.

7. Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. C. 164–174.

8. Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

9. Lazarev N. P., Rudoy E. M. Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge // Z. Angew. Math. Mech. 2017. V. 97, N 9. P. 1120–1127.

10. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. T. 15, № 3. C. 58–69.

11. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. T. 14, № 4. C. 32–43.

12. Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 98–117.

13. Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Europ. J. Mech. A Solids. 2012. V. 32, N 1. P. 69–75.

14. Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. T. 18, № 2. C. 74–84.

15. Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, N 3. 71.

16. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко с наклонной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 4. С. 171–181.

17. Лазарев Н. П. Итерационный метод штрафа для нелинейной задачи о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. T. 14, № 4. C. 381–392.

18. Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94, N 9. P. 730–739.

19. Lazarev N. P., Itou H., Neustroeva N. V. Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle // Jpn. J. Ind. Appl. Math. 2016. V. 33, N 1. P. 63–80.

20. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук. думка, 1973.

21. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

22. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

23. Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkha¨user-Verl., 1997.