matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2018.1.12767matmess-297Research ArticleМАТЕМАТИКАО РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО, СОДЕРЖАЩЕЙ НАКЛОННУЮ ТРЕЩИНУON THE SOLUTION REGULARITY OF AN EQUILIBRIUM PROBLEM FOR THE TIMOSHENKO PLATE HAVING AN INCLINED CRACKЛазаревН. П.LazarevN. P.

Лазарев Нюргун Петрович

Научно-исследовательский институт математики СВФУ, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000

Nyurgun P. Lazarev

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia

nyurgun@ngs.ruХиромитиИ.HiromichiI.

Итоу Хиромити

Tokyo University of Science, Department of Mathematics, 1-3 Kagurazaka, Shinjuku-ku, Tokyo 162-8601

Hiromichi Itou

Tokyo University of Science, Department of Mathematics, 1–3 Kagurazaka, Shinjuku-ku, Tokyo 162–8601 

h-itou@rs.tus.ac.jpСивцевП. В.SivtsevP. V.

Сивцев Петр Васильевич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000

Petr V. Sivtsev

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia 

sivkapetr@mail.ruТихоноваИ. М.TikhonovaI. M.

Тихонова Ирина Михайловна

Научно-исследовательский институт математики СВФУ, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000

Irina M. Tikhonova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia 

IrinaMikh3007@mail.ruНаучно-исследовательский институт математики СВФУРоссияM. K. Ammosov North-Eastern Federal UniversityRussian FederationTokyo University of Science, Department of MathematicsЯпонияTokyo University of Science, Department of MathematicsJapanСеверо-Восточный федеральный университет им. М. К. АммосоваРоссияM. K. Ammosov North-Eastern Federal UniversityRussian Federation2018120520262513849Copyright © Лазарев Н.П., Хиромити И., Сивцев П.В., Тихонова И.М., 20262026Лазарев Н.П., Хиромити И., Сивцев П.В., Тихонова И.М.Lazarev N.P., Hiromichi I., Sivtsev P.V., Tikhonova I.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/297

Исследуется задача о равновесии упругой трансверсально-изотропной пластины (модели Тимошенко), содержащей сквозную наклонную трещину. Считается что трещина не выходит на внешнюю границу. В исходном состоянии предполагается, что противоположные берега трещин соприкасаются друг с другом. При этом трещина описывается с помощью поверхности, которая удовлетворят определенным предположениям. На кривой, задающей трещину в срединной плоскости, ставится краевое условие в виде неравенства, описывающее непроникание противоположных берегов трещины. На внешней границе заданы однородные условия Дирихле. Установлена локальная дополнительная гладкость решения по сравнению с заданной в вариационной формулировке при определенных условиях на поверхность, задающую трещину. Доказана бесконечная дифференцируемость функции решения при дополнительных предположениях на функцию, задающую внешние нагрузки, а также на значения функций перемещений вблизи кривой, описывающей трещину.

The equilibrium problem for an transversely isotropic elastic plate (Timoshenko model) with an inclined crack is studied. It is supposed that the crack does not touch the external boundary. For initial state, we assume that opposite crack faces are in contact with each other on a frictionless crack surface. Herewith, the crack is described with the use of a surface satisfying certain assumptions. On the crack curve defining the crack in the middle plane, we impose a nonlinear boundary condition as an inequality describing the nonpenetration of the opposite crack faces. It is assumed that on the exterior boundary of the cracked elastic plate the homogeneous Dirichlet boundary conditions are prescribed. We establish additional smoothness of the solution in comparison with that given in the variational statement. We prove that the solution functions are infinitely smooth under additional assumptions on the function of external loads and the functions of displacements near the curve describing the inclined crack. 

вариационное неравенствопластина Тимошенкотрещинаусловия непрониканиярегулярность решенияvariational inequalityTimoshenko platecracknonpenetration conditionsolution regularityReferencesЧерепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.Работнов Ю. И. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.Работнов Ю. И. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.Левин В. А., Морозов Е. М. Матвиенко Ю. Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004.Левин В. А., Морозов Е. М. Матвиенко Ю. Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004.Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981.Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981.Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.Хлуднев А. М. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину // Прикл. механика и техн. физика. 1997. T. 38, № 5. C. 117–121.Хлуднев А. М. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину // Прикл. механика и техн. физика. 1997. T. 38, № 5. C. 117–121.Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. C. 164–174.Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. C. 164–174.Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.Lazarev N. P., Rudoy E. M. Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge // Z. Angew. Math. Mech. 2017. V. 97, N 9. P. 1120–1127.Lazarev N. P., Rudoy E. M. Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge // Z. Angew. Math. Mech. 2017. V. 97, N 9. P. 1120–1127.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. T. 15, № 3. C. 58–69.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. T. 15, № 3. C. 58–69.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. T. 14, № 4. C. 32–43.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. T. 14, № 4. C. 32–43.Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 98–117.Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 98–117.Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Europ. J. Mech. A Solids. 2012. V. 32, N 1. P. 69–75.Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Europ. J. Mech. A Solids. 2012. V. 32, N 1. P. 69–75.Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. T. 18, № 2. C. 74–84.Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. T. 18, № 2. C. 74–84.Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, N 3. 71.Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, N 3. 71.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко с наклонной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 4. С. 171–181.Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко с наклонной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 4. С. 171–181.Лазарев Н. П. Итерационный метод штрафа для нелинейной задачи о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. T. 14, № 4. C. 381–392.Лазарев Н. П. Итерационный метод штрафа для нелинейной задачи о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. T. 14, № 4. C. 381–392.Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94, N 9. P. 730–739.Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko’s plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94, N 9. P. 730–739.Lazarev N. P., Itou H., Neustroeva N. V. Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle // Jpn. J. Ind. Appl. Math. 2016. V. 33, N 1. P. 63–80.Lazarev N. P., Itou H., Neustroeva N. V. Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle // Jpn. J. Ind. Appl. Math. 2016. V. 33, N 1. P. 63–80.Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук. думка, 1973.Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук. думка, 1973.Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkha¨user-Verl., 1997.Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkha¨user-Verl., 1997.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.