ON THE STRUCTURE OF SOME COMPLEXES OF m–DIMENSIONAL PLANES IN THE PROJECTIVE SPACE Pn CONTAINING A FINITE NUMBER OF DEVELOPABLE SURFACES. I

This article focuses on differential geometry of ρ-dimentional complexes of C^ρ m-dimensional planes in projective space Pⁿ that contains a finite number of developable surfaces. In this paper, we obtain a necessary condition under which complex C^ρ contains a finite number of developable surfaces. We study the structure of ρdimensional complexes C^ρ for which all developable surfaces belonging to the complex C^ρ have one common characteristic (m + 1)-dimensional plane tangent along the mdimensional developable surface generator. Such complexes are denoted by C^ρ(1). Also we determine the image of complexes C^ρ(1) on (m + 1)(n − m)-dimensional algebraic manifold G(m,n) of space Pⁿ, where N = (    )-1 is the image of manifold G(m,n) of m-dimensional planes in projective space Pⁿ under the Grassmann mapping. 

1. Бубякин И. В. О строении комплексов m-мерных плоскостей проективного пространства, содержащих конечное число торсов // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 4. С. 3–16.

2. Макоха А. Н. Геометрическая конструкция линейного комплекса плоскостей B3 // Изв. вузов. Математика. 2018. № 11. С. 15–26.

3. Стеганцева П. Г., Гречнева М. А. Грассманов образ неизотропной поверхности псевдоевклидова пространства // Изв. вузов. Математика. 2017. № 2. С. 65–75.

4. Арнольд В. И. Комплексный лагранжев грассманиан // Функцион. анализ и его прил. 2000. Т. 34, вып. 3. С. 63–65.

5. Арнольд В. И. Лагранжев грассманиан кватернионного гиперсимплектического пространства // Функцион. анализ и его прил. 2001. Т. 35, вып. 1. С. 74–77.

6. Arkani-Hamed N., Bourjaily J. L., Cachazo F., Goncharov A. B., Postnikov A., Trnka J. Scattering amplitudes and the positive Grassmannian. arXiv:1212.5605v2. 2014.

7. Arkani-Hamed N., Trnka J. The amplituhedron // J. High Energy Phys. 2014. V. 2014, N 10. 8. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2007.

8. Akivis M. A. On the differential geometry of a Grassmann manifold // Tensor. 1982. V. 38. P. 273–282.

9. Бубякин И. В. Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей. Новосибирск: Наука, 2001.

10. Акивис M. A. Ткани и почти грассмановы структуры // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, № 6. С. 6–15.

11. Room T. G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1938.

12. Landsberg J. M. Algebraic geometry and projective differential geometry. Seoul: Seoul Nat. Univ., 1997 (Lect. Notes Ser. Seoul Nat. Univ.; V. 45).

13. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Многообразия с вырожденным гауссовым отображением с кратными фокусами и скрученные конусы // Изв. вузов. Математика. 2003. № 11. С. 3–14.

14. Akivis M. A., Goldberg V. V. Projective differential geometry of submanifolds. Amsterdam:

15. North-Holland Publ. Co., 1993.