Аналитическое решение задачи о гармонических колебаниях тела прямоугольной формы в микрополярной теории упругости
https://doi.org/10.25587/SVFU.2023.93.57.002
Аннотация
Рассматривается плоская задача о собственных гармонических колебаниях прямоугольника со смешанными краевыми условиями в рамках линейной микрополярной теории упругости. Микрополярная модель или модель Коссера применяется для многих современных материалов с микроструктурой, когда элементарная частица сплошной среды имеет шесть степеней свободы. Предложен метод решения, когда исходная краевая задача разделяется на отдельные последовательности согласованных скалярных краевых задач, отвечающих и за вращательную компоненту. Выявлено, что в микрополярной среде возникают два «сорта частот» собственных колебаний прямоугольника, одна из которых ограничена снизу, тогда как в классической среде существует только один «сорт» собственных частот и таких ограничений нет. Предложенный метод может быть развит на случай других граничных условий и на трехмерный случай.
Об авторах
Ю. М. Григорьев
Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова; Академия наук Республики Саха (Якутия)
Россия
Россия
Григорьев Юрий Михайлович
ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000
пр. Ленина, 33, Якутск 677007
A. A. Гаврильева
ФИЦ «Якутский научный центр СО РАН», Обособленное подразделение Институт физико-технических проблем Севера им. В. П. Ларионова СО РАН
Россия
Россия
Гаврильева Aнна Aндреевна
ул. Октябрьская, 1, Якутск 677980
Список литературы
1. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Herman et Fils, 1909.
2. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2, № 9. С. 1399–1409.
3. Mindlin R., Tiersten H. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V. 11, N 1. P. 415–448. https://doi.org/10.1007/BF00253946.
4. Koiter W. T. Couple-stress in the theory of elasticity // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1964. V. 67. P. 17–44.
5. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, № 3. С. 401–408.
6. Eringen A. Linear theory of micropolar elasticity // J. Math. Mech. 1966. V. 15, N 6. P. 909–923.
7. Купразде В. Д. Трехмерные задачи систематической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.
8. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986.
9. Eringen A. C. Microcontinuum field theories. I. Foundations and solids. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1999.
10. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.
11. Altenbach H., Maugin G. A., Erofeev V. Mechanics of generalized continua. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 2011. https://doi.org/10.1007/978-3-642-19219-7
12. Dyszlewicz J. Micropolar theory of elasticity. Berlin: Springer-Verl., 2012. https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.
13. Altenbach H„ Forest S. Generalized continua as models for classical and advanced materials. Springer, 2016. (Adv. Struct. Mat.; V. 42).
14. Eremeyev V. A., Lebedev L. P., Altenbach H. Foundations of micropolar mechanics. Heidelberg: Springer-Verl., 2013. https://doi.org/10.1007/978-3-642-28353-6.
15. Smith A. C. Torsion and vibrations of cylinders of a micropolar elastic solid // Recent Adv. Eng. Sci. 1970. V. 5, N 2. P. 129–137.
16. Gauthier R. D., Jahsman W. E. A quest for micropolar elastic constants // J. Appl. Mech. 1975. V. 42, N 2. P. 369–374.
17. Reddy Krishna G. V., Venkatasubramanian N. K. Saint-Venant’s problem for a micropolar elastic circular cylinder // Int. J. Eng. Sci. 1976. V. 14, N 11. P. 1047–1057.
18. Ie˛san D., Chirit˛a S. Saint-Venant’s problem for composite micropolar elastic cylinders // Int. J. Eng. Sci. 1979. V. 17, N 5. P. 573–586.
19. Chirit˛a S. Deformation of loaded micropolar elastic cylinders // Int. J. Eng. Sci. 1981. V. 19. P. 845–853.
20. Gauthier R. D. Experimental investigations on micropolar media // Mechanics of Micropolar Media. Singapore: World Sci., 1982. P. 395–463.
21. Taliercio A. Torsion of micropolar hollow circular cylinders // Mech. Res. Commun. 2010. V. 34. P. 406–411.
22. Gauthier R., Jahsman W. Bending of a curved bar of micropolar elastic material // J. Appl. Mech. 1976. V. 43. P. 502–503.
23. Chauhan R. S. Couple stresses in a curved bar // Int. J. Eng. Sci. 1969. V. 7. P. 895–903.
24. Singh S. J. A spherical cavity in a micropolar medium and related problems // Gerlands Beitrage z¨ur Geophysik. Leipzig, 1975. V. 84. P. 55–66.
25. Меладзе Р. В. Решение III и IV краевых задач статической теории микрополярной упругости для шара // Тр. ИПМ им. В. Векуа. 1987. Т. 84. С. 55–66.
26. Kulesh M. A., Matveenko V. P., Shardakov I. N. Parametric analysis of analytical solutions to one-and two-dimensional problems in couple-stress theory of elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2003. V. 23, N 4. P. 238–48.
27. Yang J. F. C., Lakes S. Experimental study of micropolar and couple stress elasticity in compact bone in bending // Biomech. 1981. V. 15. P. 91–98.
28. Yang J. F. C., Lakes S. Transient study of couple stress effects in human compact bone: Torsion // J. Biomech. 1982. V. 103. P. 275–279.
29. Hassanpour S., Heppler G. R. Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 2. P. 224–242.
30. Хомасуридзе H. Г. О решении трехмерных граничных задач безмоментной и моментной теорий упругости // Исследование некоторых уравнений математической физики. Тбилиси: Изд-во Тбил. гос. ун-та, 1972. Вып. 1. С. 123–147.
31. Григорьев Ю. М. Аналитическое решение некоторых основных задач классической и моментной теорий упругости для прямоугольного параллелепипеда // Моделирование в механике. 1992. Т. 6, № 4. С. 21–26.
32. Григорьев Ю. М. Аналитическое решение задачи о равновесии прямоугольника в моментной теории упругости // Вестн. СВФУ. 2007. № 4. С. 19–26.
33. Григорьев Ю. М. Аналитическое решение задачи о гармонических колебаниях прямоугольника в моментной теории упругости // Моделирование и механика. Красноярск: СибГАУ, 2012. С. 37–42.
34. Grigor’ev Yu. M., Gavrilieva A. A. An equilibrium of a micropolar elastic rectangle with mixed boundary conditions // Continuum Mech. Thermodyn. 2019. V. 31, N 6. P. 1699–1718.
35. Hassanpour S., Heppler G. R. Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 2. P. 224–242.
36. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.
Рецензия
Для цитирования:
Григорьев Ю.М., Гаврильева A.A. Аналитическое решение задачи о гармонических колебаниях тела прямоугольной формы в микрополярной теории упругости. Математические заметки СВФУ. 2023;30(2):14-29. https://doi.org/10.25587/SVFU.2023.93.57.002
For citation:
Grigor’ev Yu.M., Gavrilieva A.A. A problem of harmonic oscillations of a rectangle in the theory of micropolar elasticity: the analytical solution. Mathematical notes of NEFU. 2023;30(2):14-29. (In Russ.) https://doi.org/10.25587/SVFU.2023.93.57.002
Просмотров:
1
JATS XML
Послать статью по эл. почте 