matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова10.25587/SVFU.2023.93.57.002matmess-11Research ArticleМАТЕМАТИКААналитическое решение задачи о гармонических колебаниях тела прямоугольной формы в микрополярной теории упругостиA problem of harmonic oscillations of a rectangle in the theory of micropolar elasticity: the analytical solutionГригорьевЮ. М.Grigor’evYu. M.

Григорьев Юрий Михайлович

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000

пр. Ленина, 33, Якутск 677007

Yuriy M. Grigor’ev

58 Belinsky Street, Yakutsk, 677000 Russia

33 Lenin Avenue, Yakutsk 677007, Russia.

grigyum@yandex.ruГаврильеваA. A.GavrilievaA. A.

Гаврильева Aнна Aндреевна

ул. Октябрьская, 1, Якутск 677980

Anna A. Gavrilieva

1 Oktyabrskaya street, Yakutsk 677980, Russia

gav-ann@yandex.ruСеверо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова; Академия наук Республики Саха (Якутия)РоссияAmmosov North-Eastern Federal University, Theoretical Physics Department; Academy of Sciences of the Republic of Sakha (Yakutia)Russian FederationФИЦ «Якутский научный центр СО РАН», Обособленное подразделение Институт физико-технических проблем Севера им. В. П. Ларионова СО РАНРоссияLarionov Institute of the Physical-Technical Problems of the North of the Siberian Branch of the RAS, Division of Federal Research Centre "The Yakut Scientific Centre of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences"Russian Federation2023300620233021429Copyright © Григорьев Ю.М., Гаврильева A.A., 20232023Григорьев Ю.М., Гаврильева A.A.Grigor’ev Y.M., Gavrilieva A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/11

Рассматривается плоская задача о собственных гармонических колебаниях прямоугольника со смешанными краевыми условиями в рамках линейной микрополярной теории упругости. Микрополярная модель или модель Коссера применяется для многих современных материалов с микроструктурой, когда элементарная частица сплошной среды имеет шесть степеней свободы. Предложен метод решения, когда исходная краевая задача разделяется на отдельные последовательности согласованных скалярных краевых задач, отвечающих и за вращательную компоненту. Выявлено, что в микрополярной среде возникают два «сорта частот» собственных колебаний прямоугольника, одна из которых ограничена снизу, тогда как в классической среде существует только один «сорт» собственных частот и таких ограничений нет. Предложенный метод может быть развит на случай других граничных условий и на трехмерный случай.

We consider the plane problem of natural harmonic oscillations of a rectangle with mixed boundary conditions in the framework of the linear micropolar theory of elasticity. The micropolar or Cosserat model is used for many modern materials with microstructure, when an elementary particle of a continuous medium has six degrees of freedom. A method for solving the original boundary value problem, when it is divided into separate sequences of consistent scalar boundary value problems, including one for rotational component, is proposed. It was revealed that in a micropolar medium there are two «sorts» of natural oscillations of a rectangle, one of which is bounded from below, while in a classical medium there is only one «sort» of natural oscillations and there are no such restrictions. The proposed method can be developed for the case of other boundary conditions and for the three-dimensional case.

модель Коссерамикрополярная теория упругостисобственные колебанияпрямоугольникCosserat modelmicropolar theory of elasticitynatural oscillationsrectangleReferencesCosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Herman et Fils, 1909.Cosserat E. and Cosserat F., Theorie des Corps Deformables, Herman et Fils, Paris (1909).Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2, № 9. С. 1399–1409.Aero E. L. and Kuvshinskij E. V., “Basic equations of elasticity theory with rotational interaction of particles [in Russian],” Fizika Tvyordogo Tela, 2, No. 9, 1399–1409 (1960).Mindlin R., Tiersten H. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V. 11, N 1. P. 415–448. https://doi.org/10.1007/BF00253946.Mindlin R. and Tiersten H., “Effects of couple–stresses in linear elasticity,” Arch. Rat. Mech. Anal., 11, No. 1, 415–448 (1962).Koiter W. T. Couple-stress in the theory of elasticity // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1964. V. 67. P. 17–44.Koiter W. T., “Couple-stress in the theory of elasticity,” Proc. K. Ned. Akad. Wet., NorthHolland Publ., 67, 17–44 (1964).Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, № 3. С. 401–408.Pal’mov V. A., “Basic equations of the theory of asymmetric elasticity [in Russian],” Prikl. Mat. Mekh., 28, No. 3, 401–408 (1964).Eringen A. Linear theory of micropolar elasticity // J. Math. Mech. 1966. V. 15, N 6. P. 909–923.Eringen A., “Linear theory of micropolar elasticity,” J. Math. Mech., 15, No. 6, 909–923 (1966).Купразде В. Д. Трехмерные задачи систематической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.Kuprazde V. D., Three-Dimensional Problems of the Systematic Theory of Elasticity and Thermoelasticity [in Russian], Nauka, Moscow (1976).Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986.Nowacki W., Theory of Asymmetric Elasticity, Pergamon Press, Oxford (1986).Eringen A. C. Microcontinuum field theories. I. Foundations and solids. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1999.Eringen A. C., Microcontinuum Field Theories, I: Foundations and Solids, Springer, Berlin; Heidelberg; New York (1999).Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.Erofeev V. I., Wave Processes in Solids with Microstructure [in Russian], Izdat. Mosk. Univ., Moscow (1999).Altenbach H., Maugin G. A., Erofeev V. Mechanics of generalized continua. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 2011. https://doi.org/10.1007/978-3-642-19219-7Altenbach H., Maugin G. A., and Erofeev V., Mechanics of Generalized Continua, Springer, Berlin; Heidelberg (2011).Dyszlewicz J. Micropolar theory of elasticity. Berlin: Springer-Verl., 2012. https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity, Springer, Berlin (2012).Altenbach H„ Forest S. Generalized continua as models for classical and advanced materials. Springer, 2016. (Adv. Struct. Mat.; V. 42).Altenbach H. and Forest S., Generalized Continua as Models for Classical and Advanced Materials, Springer (2016) (Adv. Struct. Mat.; vol. 42).Eremeyev V. A., Lebedev L. P., Altenbach H. Foundations of micropolar mechanics. Heidelberg: Springer-Verl., 2013. https://doi.org/10.1007/978-3-642-28353-6.Eremeyev, V. A., Lebedev L. P., and Altenbach H., Foundations of Micropolar Mechanics, Springer, Heidelberg (2013).Smith A. C. Torsion and vibrations of cylinders of a micropolar elastic solid // Recent Adv. Eng. Sci. 1970. V. 5, N 2. P. 129–137.Smith A. C., “Torsion and vibrations of cylinders of a micropolar elastic solid,” Recent Adv. Eng. Sci., 5, No. 2, 129–137 (1970).Gauthier R. D., Jahsman W. E. A quest for micropolar elastic constants // J. Appl. Mech. 1975. V. 42, N 2. P. 369–374.Gauthier R. D. and Jahsman W. E., “A quest for micropolar elastic constants,” J. Appl. Mech., 42, No. 2, 369–374 (1975).Reddy Krishna G. V., Venkatasubramanian N. K. Saint-Venant’s problem for a micropolar elastic circular cylinder // Int. J. Eng. Sci. 1976. V. 14, N 11. P. 1047–1057.Krishna Reddy G. V. and Venkatasubramanian N. K., “Saint-Venant’s problem for a micropolar elastic circular cylinder,” Int. J. Eng. Sci., 14, No. 11, 1047–1057 (1976).Ie˛san D., Chirit˛a S. Saint-Venant’s problem for composite micropolar elastic cylinders // Int. J. Eng. Sci. 1979. V. 17, N 5. P. 573–586.Ie˛san D. and Chirit˛a S., “Saint-Venant’s problem for composite micropolar elastic cylinders,” Int. J. Eng. Sci., 17, No. 5, 573–586 (1979).Chirit˛a S. Deformation of loaded micropolar elastic cylinders // Int. J. Eng. Sci. 1981. V. 19. P. 845–853.Chirit˛a S., “Deformation of loaded micropolar elastic cylinders,” Int. J. Eng. Sci., 19, 845–853 (1981).Gauthier R. D. Experimental investigations on micropolar media // Mechanics of Micropolar Media. Singapore: World Sci., 1982. P. 395–463.Gauthier R. D., “Experimental investigations on micropolar media,” in: Mechanics of Micropolar Media, pp. 395–463, World Sci., Singapore (1982).Taliercio A. Torsion of micropolar hollow circular cylinders // Mech. Res. Commun. 2010. V. 34. P. 406–411.Taliercio A., “Torsion of micropolar hollow circular cylinders,” Mech. Res. Commun., 34, 406–411 (2010).Gauthier R., Jahsman W. Bending of a curved bar of micropolar elastic material // J. Appl. Mech. 1976. V. 43. P. 502–503.Gauthier R. and Jahsman W. “Bending of a curved bar of micropolar elastic material,” J. Appl. Mech., 43, 502–503 (1976).Chauhan R. S. Couple stresses in a curved bar // Int. J. Eng. Sci. 1969. V. 7. P. 895–903.Chauhan R. S., “Couple stresses in a curved bar,” Int. J. Eng. Sci., 7, 895–903 (1969).Singh S. J. A spherical cavity in a micropolar medium and related problems // Gerlands Beitrage z¨ur Geophysik. Leipzig, 1975. V. 84. P. 55–66.Singh S. J., “A spherical cavity in a micropolar medium and related problems,” Gerlands Beitr. Geophys., Leipzig, 84, 55–66 (1975).Меладзе Р. В. Решение III и IV краевых задач статической теории микрополярной упругости для шара // Тр. ИПМ им. В. Векуа. 1987. Т. 84. С. 55–66.Meladze R. V., “Solution III and IV of boundary value problems of the static theory of micropolar elasticity for a ball [in Russian],” Tr. IPM im. V. Vekua, 84, 55–66 (1987).Kulesh M. A., Matveenko V. P., Shardakov I. N. Parametric analysis of analytical solutions to one-and two-dimensional problems in couple-stress theory of elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2003. V. 23, N 4. P. 238–48.Kulesh M. A., Matveenko V. P., and Shardakov I. N., “Parametric analysis of analytical solutions to one-and two-dimensional problems in couple-stress theory of elasticity,” Z. Angew. Math. Mech., 23, No. 4, 238–248 (2003).Yang J. F. C., Lakes S. Experimental study of micropolar and couple stress elasticity in compact bone in bending // Biomech. 1981. V. 15. P. 91–98.Yang J. F. C. and Lakes S., “Experimental study of micropolar and couple stress elasticity in compact bone in bending,” Biomech., 15, 91–98 (1981).Yang J. F. C., Lakes S. Transient study of couple stress effects in human compact bone: Torsion // J. Biomech. 1982. V. 103. P. 275–279.Yang J. F. C. and Lakes S., “Transient study of couple stress effects in human compact bone: Torsion,” J. Biomech., 103, 275–279 (1982).Hassanpour S., Heppler G. R. Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 2. P. 224–242.Hassanpour S. and Heppler G. R., “Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations,” Math. Mech. Solids, 22, No. 2, 224–242 (2017).Хомасуридзе H. Г. О решении трехмерных граничных задач безмоментной и моментной теорий упругости // Исследование некоторых уравнений математической физики. Тбилиси: Изд-во Тбил. гос. ун-та, 1972. Вып. 1. С. 123–147.Homasuridze H. G., “On the solution of three-dimensional boundary problems of the momentless and moment theories of elasticity [in Russian],” in: Study of Some Equations of Mathematical Physics, No. 1, pp. 123–147, Izdat. Tbilis. Gos. Univ., Tbilisi (1972).Григорьев Ю. М. Аналитическое решение некоторых основных задач классической и моментной теорий упругости для прямоугольного параллелепипеда // Моделирование в механике. 1992. Т. 6, № 4. С. 21–26.Grigor’ev Yu. M., “Analytical solution of some basic problems of classical and moment theories of elasticity for a rectangular parallelepiped [in Russian],” Model. Mekh., 6, No. 4, 21–26 (1992).Григорьев Ю. М. Аналитическое решение задачи о равновесии прямоугольника в моментной теории упругости // Вестн. СВФУ. 2007. № 4. С. 19–26.Grigor’ev Yu. M., “Analytical solution of the rectangle equilibrium problem in the moment theory of elasticity [in Russian],” Vestn. SVFU, No. 4, 19–26 (2007).Григорьев Ю. М. Аналитическое решение задачи о гармонических колебаниях прямоугольника в моментной теории упругости // Моделирование и механика. Красноярск: СибГАУ, 2012. С. 37–42.Grigor’ev Yu. M., “Analytical solution of the problem of harmonic oscillations of a rectangle in the moment theory of elasticity [in Russian],” in: Modelling and Mechanics, pp. 37–42, SibGAU, Krasnoyarsk (2012).Grigor’ev Yu. M., Gavrilieva A. A. An equilibrium of a micropolar elastic rectangle with mixed boundary conditions // Continuum Mech. Thermodyn. 2019. V. 31, N 6. P. 1699–1718.Grigor’ev Yu. M. and Gavrilieva A. A., “An equilibrium of a micropolar elastic rectangle with mixed boundary conditions,” Continuum Mech. Thermodyn., 31, No. 6, 1699–1718 (2019).Hassanpour S., Heppler G. R. Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 2. P. 224–242.Hassanpour S. and Heppler G. R., “Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations,” Math. Mech. Solids, 22, 224–242 (2017).Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.Budak B. M., Tikhonov A. N., and Samarsky A. A., Collection of Problems in Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1980).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.