Локальные краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением времени исследовались во многих работах. Разрешимость нелокальных по времени краевых задач изучалась для параболических уравнений второго порядка. Для неклассического уравнения третьего порядка была рассмотрена регулярная разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями по времени. В данной работе в цилиндрической области пространства Rⁿ⁺¹ исследуется краевая задача с интегральным граничным условием по времени для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени. При определенных условиях на коэффициенты уравнения и данные краевой задачи доказана регулярная разрешимость рассматриваемой нелокальной краевой задачи. В доказательстве регулярной разрешимости данной нелокальной краевой задачи используется вспомогательная локальная краевая задача для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени. Также для вспомогательной краевой задачи получена оценка сходимости, с помощью которой установлена оценка сходимости приближенных решений к точному решению рассматриваемой нелокальной краевой задачи. 

Исследована однозначная разрешимость одной нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа третьего порядка. Краевое условие поставленной задачи содержит линейную комбинацию операторов дробного в смысле Римана — Лиувилля интегродифференцирования с гипергеометрической функцией Гаусса от значений решения на характеристиках, поточечно связанных со значениями решения и производной от него на линии вырождения. Формулируются и доказываются теоремы существования и единственности решения поставленной задачи для различных случаев показателя степени в рассматриваемом уравнении. Единственность решения задачи при определенных ограничениях типа неравенств на заданные функции и порядки дробных производных в краевом условии доказывается методом интегралов энергии. Выписываются функциональные соотношения между следом искомого решения и производной от него, принесенные на линию вырождения из гиперболической и параболической частей смешанной области. При выполнении условий теоремы единственности доказывается существование решения задачи путем эквивалентной редукции к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода относительно производной от следа искомого решения. Определены промежутки изменения порядков операторов дробного интегродифференцирования, при которых решение задачи существует и единственно. Установлен эффект влияния коэффициента при младшей производной в исходном уравнении на однозначную разрешимость поставленной задачи. 

Исследуется нелокальная краевая задача в прямоугольной области для линейной системы уравнений с частными производными дробного порядка в смысле Римана — Лиувилля с постоянными коэффициентами. Знакоопределенность собственных значений матричных коэффициентов в главной части является существенным признаком таких систем, и эти системы можно разделить на два разных типа, которые заметно отличаются в плане постановок корректных краевых задач. Исследуемая система относится к типу II, т. е. к системам с собственными значениями матричных коэффициентов в главной части разных знаков. Доказана теорема о существовании и единственности решения исследуемой краевой задачи. Получены условия однозначной разрешимости в терминах собственных векторов матричного коэффициента в главной части системы. 

Системы массового обслуживания (СМО) являются аналитическими моделями информационных сетей и их отдельных элементов. В данной работе строится математическая модель СМО в виде системы уравнений относительно нестационарных и стационарных характеристик незавершенной работы в СМО. Рассматривается СМО с бесконечной емкостью накопителя, одним обслуживающим прибором, произвольным обслуживанием с функцией распределения B(x). На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок с диффузионной интенсивностью λ(t) ∈ [α,β] с упругими границами. Диффузионный процесс λ(t) имеет нулевой коэффициент сноса a = 0 и коэффициент диффузии b > 0.

Цель данной работы — вывод уравнений относительно совместных распределений незавершенной работы и интенсивности входного потока в нестационарном и стационарном режимах.

Для вывода уравнений относительно характеристик СМО применяется динамика Колмогорова. В теореме 1 приводится вывод уравнения для нестационарного распределения незавершенной работы СМО в нестационарном режиме. Получены начальные и краевые условия, уравнения для внутренних и граничных точек. Вывод уравнений осуществлен с помощью полумарковского процесса, аппроксимирующего диффузионный процесс. Показано, что диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса a = 0 и коэффициентом диффузии b > 0 получается из полумарковского процесса в результате предельного перехода. В теореме 2 приводится вывод уравнения для стационарного распределения незавершенной работы СМО в стационарном режиме. Получены краевые условия. 

We consider equilibrium problems for a cracked inhomogeneous plate with a rigid circular inclusion. Deformation of an elastic matrix is described by the Timoshenko model. The plate is assumed to have a through crack that reaches the boundary of the rigid inclusion. The boundary condition on the crack curve is given in the form of inequality and describes the mutual nonpenetration of the crack faces. For a family of corresponding variational problems, we analyze the dependence of their solutions on the radius of the rigid inclusion. We formulate an optimal control problem with a cost functional defined by an arbitrary continuous functional on the solution space, while the radius of the cylindrical inclusion is chosen as the control parameter. Existence of a solution to the optimal control problem and continuous dependence of the solutions with respect to the radius of the rigid inclusion are proved. 

Рассматривается проблема решения задач прогнозирования изменения определяющих характеристик композиционных материалов и конструкций при воздействии экстремальных факторов внешней среды. Определяющими характеристиками могут являться остаточный ресурс, надежность, долговечность композиционных материалов и конструкций. Рассмотрено применение комбинированных методов поиска экстремума многопараметрических показателей эффективности для решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик композиционных материалов и конструкций на основе усложненных моделей.

Исследован вопрос о наиболее эффективном конструировании комбинированных подходов, представляющих собой совокупность нескольких методов для решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик композиционных материалов и конструкций.

Нейштадт и Итон разработали метод и численный алгоритм решения задачи оптимального быстродействия. В этом методе необходимо решать дискретное уравнение для нахождения начального значения сопряженной системы. В ходе решения этого уравнения на каждом шаге нужно находить величину приращения начального значения сопряженной системы. Это достигается путем выбора длины шага. При этом начальное значение сопряженной системы должно удовлетворять определенным условиям. Затем решается система дифференциальных уравнений, где в качестве начальных данных используются полученные значения сопряженной системы и определяется траектория. Таким образом, на каждом шаге решения дискретного уравнения необходимо использовать итерационный процесс. Доказана сходимость метода. При этом нужно отметить слабую сходимость метода. Для улучшения сходимости предлагается следующий подход. Делается несколько шагов метода Нейштадта — Итона. Полученные начальные значения сопряженной системы аппроксимируются и экстраполируются на определенном интервале. Затем снова делаем несколько шагов метода Нейштадта — Итона и при этом используем экстраполированные значения начальных значений сопряженной системы. Таким образом, предлагается «скользящая» аппроксимация найденных решений дискретного уравнения для каждой компоненты с помощью алгебраической функции с последующей ее экстраполяцией. Экстраполяция позволяет значительно уменьшить вычислительные затраты.

Для одномерного параболического уравнения рассмотрена задача определения правой части, зависящей только от пространственных переменных. Для численного решения поставленной обратной начально-краевой задачи используется метод сопряженных градиентов в сочетании с методом конечных разностей с неявной аппроксимацией по времени с весовым множителем σ ∈ [0,1]. Возможности предложенного вычислительного алгоритма подтверждены результатами вычислительного эксперимента для модельных задач с квазиреальными решениями, включая задачи с условиями переопределения, имеющими случайные ошибки. 

We consider heat recovery from geothermal fractured resources with thermoporoelastic effects. To this end, a hierarchical fracture representation is considered, where small-scale highly connected fractures are represented by the classical dual porosity model whereas large scale dense fractures are represented by the discrete fracture model. The mathematical model is described by a system of equations for mass and heat transfer for coupled dual continuum model as well as discrete fractures. Geomechanical deformations are written in the general form. For numerical solution of the resultant coupled system of equations including multicontinuum temperatures, pressures and deformations, we use the finite-element method. Numerical results are presented for two- and three-dimensional examples, showing applicability of the proposed method.