ON THE STATIONARY GALERKIN METHOD FOR A NONCLASSICAL NONLINEAR FORWARD–BACKWARD EQUATION OF THE THIRD ORDER WITH RESPECT TO TIME

In the cylinder Q = ×(0,T) we examine a boundary value problem for a nonclassical nonlinear forward-backward equation of the third order with respect to time. The existence and uniqueness theorem is proven for this boundary value problem. The stationary Galerkin method is involved. It is proven that every weakly convergent subsequence uµ of a weakly compact sequence of approximate solutions um converges weakly to a solution of the boundary value problem

1. Gevrey M. Sur les ´equations aux d´eriv´ees partielles du type parabolique // J. Math. Pures Appl. Ser. 6. 1913. V. 9. P. 305–471.

2. Gevrey M. Sur les ´equations aux d´eriv´ees partielles du type parabolique (suite) // J. Math. Pures Appl. Ser. 6. 1914. V. 10. P. 105–148.

3. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.

4. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

5. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

6. Beals R., Protopopescu V. Half-range completeness for the Fokker–Planck equation // J. Stat. Phys 1983. V. 32, N 3. P. 565–584.

7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1973.

8. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

9. Глазатов С. Н. О разрешимости неклассических краевых задач для дифференциальных уравнений переменного типа // Неклассические уравнения мат. физики. IV Сиб. конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (Новосибирск, 26 июня–1 июля 2000 г.). Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. С. 18–24.

10. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

11. Петров Г. И. Применение метода Гал¨еркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // Прикл. математика и механика. 1940. Т. 4, № 3.

12. Егоров И. Е., Ефимова Е. С. Стационарный метод Гал¨еркина для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, № 2. С. 41–46.

13. Олейник О. А., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. М.: Изд-во МГУ, 2010.

14. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эллиптико-параболических уравнений // Математика. 1963. Т. 7, № 6. С. 99–121.

15. Егоров И. Е., Степанова П. И. О методе Гал¨еркина для эллиптико-параболических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, № 2. С. 19–26.

16. Егоров И. Е. Применение метода Гал¨еркина к третьей краевой задаче для эллиптико-параболического уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2009. Т. 16, № 1. С. 22–27.

17. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.

18. Попов С. В. О разрешимости краевой задачи для одного уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Дифференциальные уравнения и их приложения. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1989. С. 39–47.

19. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

20. Triebel H. Interpolation theory, function spaces, differential operators. Berlin: VEB Deutcher Verl. Wiss., 1977.