СРАВНЕНИЕ ГРАДИЕНТНОГО И СИМПЛЕКС МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕЙ МОДЕЛИ ИНФЕКЦИОННОГО ЗАБОЛЕВАНИЯ

При заражении организм человека выделяет антитела, которые поз воляют справляться с болезнями. Индивидуальные особенности иммунитета и за болевания, отвечающие за рост числа антигенов (например, вирусов или бактерий) и антител, сопротивляемость организма и т. д. различны, а следовательно, реакция каждого отдельного организма будет различной при одном и том же заболевании. Несмотря на это врачи, как правило, составляют пациентам стандартный план лече ния, что не всегда оптимально. Поэтому важно уметь определять индивидуальные особенности иммунитета (скорость иммунного ответа, скорость выработки специ фичных антител) и заболевания (скорость распространения вирусов, бактерий и др.) для каждого пациента в отдельности по анализам крови, урины и т. п.

В работе численно исследована задача определения параметров инфекцион ного заболевания для простейшей математической модели «антиген-антитело» по измерениям концентраций антигенов и антител в фиксированные моменты време ни. Исследован целевой функционал, описывающий отклонение эксперименталь ных данных от модельных. Получено явное выражение градиента целевого функ ционала, в котором используется решение соответствующей сопряженной задачи. Проведен сравнительный анализ численного решения обратной задачи, получен ного градиентным методом (итерации Ландвебера) и симплекс-методом (методом Нелдера — Мида). Показано, что метод Нелдера — Мида в исследуемой матема тической модели определяет множество локальных приближенных значений ско ростей распространения антигена, иммунного ответа и выработки специфичных антител с заданной точностью. Метод итерации Ландвебера находит ближайший к начальному приближению аргумент минимума целевого функционала за достаточ ное большое число итераций.

1. Марчук Г. И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1980.

2. РоманюхаА.А.,Руднев С.Г.,Зуев С.М.Анализ данных имоделирование инфекционных заболеваний // Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Т. 2. Математическое моделирование (под ред. В. П. Дымникова). М.: Наука, 2005. С. 352–404.

3. Andrew S. M., Baker C. T. H., Bocharov G. A. Rival approaches to mathematical modeling in immunology // J. Comput. Appl. Math.. 2007. V. 205. P. 669–686.

4. Engl H. W., Flamm C., K¨ugler P., Lu J., M¨uller S., Schuster P. Inverse problems in systems biology // Inverse Probl.. 2009. V. 25. P. 123014.

5. Molina-Paris C., Lythe G. Mathematical models and immune cell biology. New York; Dord recht; Heidelberg; London: Springer-Verl., 2011.

6. Banks H. T., Hu Sh., Clayton Thompson W. Modeling and inverse problems in the presence of uncertainty. Boca Raton; London; New York; Washington, DC: CRC Press, 2014. (Monogr. Res. Notes Math.).

7. Kuznetsova G. P. The inverse problem for the Marchuk immunologic “simplest model” // Дальневост. мат. журн. 2003. Т. 4, № 1. С. 134–140.

8. Afraites L., Atlas A. Parameters identification in the mathematical model of immune compe tition cells // J. Inverse Ill-posed Probl.. 2015. V. 23, N 4. P. 323–337.

9. Bellouquid A., Delitala M. Modeling complex biological systems: A kinetic theory approach. Boston; Basel; Berlin: Birkh¨auser, 2006.

10. Алифанов О.М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некор ректных задач. М.: Наука, 1988. 11. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009.

11. Ильин А. И., Кабанихин С. И., Криворотько О. И. Об определении параметров моделей, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений // Сиб. электрон. мат. изв.. 2014. Т. 11. С. 1–14.

12. Васин В. В. О сходимости методов градиентного типа для нелинейных уравнений // Докл. РАН. 1998. Т. 359, № 1. С. 7–9.

13. Nelder J., Mead R. A simplex method for function minimization // Comput. J.. 1965. V. 7. P. 308–313.

14. Михайлов Г. А., Войтишек А. В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Академия, 2006. 16. Гладков Л.А.,Курейчик В. В.,Курейчик В. М. Генетические алгоритмы. М.:Физматлит, 2006