СИММЕТРИЙНЫЙ АНАЛИЗ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ

Проведена групповая классификация семейства уравнений Сиркара — Папаниколау со свободным параметром, включающего в себя в простейшем случае уравнение Блэка — Шоулса. С помощью найденной пятимерной группы преобразований эквивалентности такого уравнения осуществлен поиск трехмерного ядра основных алгебр Ли и четырехмерных основных алгебр Ли уравнения в случае двух спецификаций свободного элемента. Для каждой из алгебр найдены оптимальные системы подалгебр и соответствующие этим подалгебрам инвариантные решения или инвариантные подмодели уравнения. Вычисленные инвариантные решения включены в более общие многопараметрические семейства решений, инвариантные относительно всей основной алгебры Ли.

1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Political Econ 1973. V. 81. P. 637–659.

2. Derman E., Taleb N. The illusions of dynamic replication // Quant. Finance. 2005. V. 5, N 4. P. 323–326.

3. Haug E. G., Taleb N. N. Option traders use (very) sophisticated heuristics, never the Black– Scholes–Merton formula // J. Econ. Behavior Organization. 2011. V. 77, N 2. P. 97–106. 4. Sircar K. R., Papanicolaou G. General Black–Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies // Appl. Math. Finance. 1998. V. 5. P. 45–82.

4. Frey R., Stremme A. Market volatility and feedback effects from dynamic hedging // Math. Finance. 1997. V. 7, N 4. P. 351–374.

5. Schonbucher P., Wilmott P. The feedback effect of hedging in illiquid markets. Tech. Rep. Oxford: Univ. Oxford, Math. Inst., Nov. 1993.

6. Brandimarte P. Numerical methods in finance & economics. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Publ., 2004.

7. Morelli M. J., Montagna G., Nicrosini O., Treccani M., Farina M., Amato P. Pricing financial derivatives with neural networks // Phys. A. 2004. V. 338. P. 160–165.

8. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 10. Gazizov R. K., Ibragimov N. H. Lie symmetry analysis of differential equations in finance // Nonlinear Dyn 1998. V. 17. P. 387–407.

9. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: НГТУ, 2012.

10. Bordag L. A., Chmakova A. Y. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives // Int. J. Theor. Appl. Finance. 2007. V. 10, N 1. P. 1–21.

11. Bordag L. A., Frey R. Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // Nonlinear models in mathematical finance: New research trends in option pricing (ed. M. Ehrhardt). Ch. 3. New York: Nova Sci. Publ., Inc., 2008. P. 83–109.

12. Bordag L. A. On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model // Mathematical control theory and finance (eds. A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra, and M. R. Grossinho). Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 2008. P. 71–94.

13. Mikaelyan A. Analytical study of the Scho¨nbucher–Wilmott model of the feedback effect in illiquid markets: Master’s thes. (financial mathematics). Halmstad Univ., 2009. 16. Bordag L. A., Mikaelyan A. Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // J. Lett. Math. Phys 2011. V. 96, N 1–3. P. 191–207.