matmessМатематические заметки СВФУMathematical notes of NEFU2411-93262587-876XСеверо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосоваmatmess-378Research ArticleМАТЕМАТИКАСИММЕТРИЙНЫЙ АНАЛИЗ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВSYMMETRY ANALYSIS AND EXACT SOLUTIONS FOR A NONLINEAR MODEL OF THE FINANCIAL MARKETS THEORYДышаевМ. М.DyshaevM. M.

Дышаев Михаил Михайлович

Челябинский гос. университет, ул. Бр. Кашириных, 129, Челябинск 454001

Dyshaev Mikhail Mikhayilovich

Cheliabinsk State University, Br. Kashirinykh st., 129, Cheliabinsk 454001, Russia

Mikhail.Dyshaev@gmail.comФедоровВ. Е.FedorovV. E.

Федоров Владимир Евгеньевич

Челябинский гос. университет, ул. Бр. Кашириных, 129, Челябинск 454001

Fedorov Vladimir Evgenevich

Cheliabinsk State University, Br. Kashirinykh st., 129, Cheliabinsk 454001, Russia

kar@csu.ruЧелябинский гос. университетРоссияCheliabinsk State UniversityRussian Federation2016230620262312845Copyright © Дышаев М.М., Федоров В.Е., 20262026Дышаев М.М., Федоров В.Е.Dyshaev M.M., Fedorov V.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://matmess.elpub.ru/jour/article/view/378

Проведена групповая классификация семейства уравнений Сиркара — Папаниколау со свободным параметром, включающего в себя в простейшем случае уравнение Блэка — Шоулса. С помощью найденной пятимерной группы преобразований эквивалентности такого уравнения осуществлен поиск трехмерного ядра основных алгебр Ли и четырехмерных основных алгебр Ли уравнения в случае двух спецификаций свободного элемента. Для каждой из алгебр найдены оптимальные системы подалгебр и соответствующие этим подалгебрам инвариантные решения или инвариантные подмодели уравнения. Вычисленные инвариантные решения включены в более общие многопараметрические семейства решений, инвариантные относительно всей основной алгебры Ли.

Group classification is obtained for the Sircar–Papanicolaou equations family with a free parameter that contains the Black–Scholes equation as the simplest partial case. The five-dimensional group of equivalence transformations is calculated and threedimensional kernel of principal Lie algebras and four-dimensional principal Lie algebras in cases of two free element specifications are found. Optimal subalgebras systems and corresponding invariant solutions or invariant submodels are calculated for every Lie algebra. Invariant solutions are included in more general multiparameter solutions families that are invariant with respect to the whole Lie algebra.

нелинейное уравнение в частных производныхуравнение Блэка — Шоулсамодель Сиркара — Папаниколауценообразование опционовгрупповой анализинвариантное решениеинвариантная подмодельдинамическое хеджированиеэффекты обратной связи при хеджированииnonlinear partial differential equationBlack–Scholes equationSircar– Papanicolaou modelpricing optionsgroup analysisinvariant solutioninvariant submodeldynamic hedgingfeedback effects of hedgingРабота выполнена частично при финансовой поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского гос. университета (грант правительства РФ №14.Z50.31.0020).ReferencesBlack F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Political Econ 1973. V. 81. P. 637–659.Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Political Econ 1973. V. 81. P. 637–659.Derman E., Taleb N. The illusions of dynamic replication // Quant. Finance. 2005. V. 5, N 4. P. 323–326.Derman E., Taleb N. The illusions of dynamic replication // Quant. Finance. 2005. V. 5, N 4. P. 323–326.Haug E. G., Taleb N. N. Option traders use (very) sophisticated heuristics, never the Black– Scholes–Merton formula // J. Econ. Behavior Organization. 2011. V. 77, N 2. P. 97–106. 4. Sircar K. R., Papanicolaou G. General Black–Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies // Appl. Math. Finance. 1998. V. 5. P. 45–82.Haug E. G., Taleb N. N. Option traders use (very) sophisticated heuristics, never the Black– Scholes–Merton formula // J. Econ. Behavior Organization. 2011. V. 77, N 2. P. 97–106. 4. Sircar K. R., Papanicolaou G. General Black–Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies // Appl. Math. Finance. 1998. V. 5. P. 45–82.Frey R., Stremme A. Market volatility and feedback effects from dynamic hedging // Math. Finance. 1997. V. 7, N 4. P. 351–374.Frey R., Stremme A. Market volatility and feedback effects from dynamic hedging // Math. Finance. 1997. V. 7, N 4. P. 351–374.Schonbucher P., Wilmott P. The feedback effect of hedging in illiquid markets. Tech. Rep. Oxford: Univ. Oxford, Math. Inst., Nov. 1993.Schonbucher P., Wilmott P. The feedback effect of hedging in illiquid markets. Tech. Rep. Oxford: Univ. Oxford, Math. Inst., Nov. 1993.Brandimarte P. Numerical methods in finance & economics. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Publ., 2004.Brandimarte P. Numerical methods in finance & economics. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons Publ., 2004.Morelli M. J., Montagna G., Nicrosini O., Treccani M., Farina M., Amato P. Pricing financial derivatives with neural networks // Phys. A. 2004. V. 338. P. 160–165.Morelli M. J., Montagna G., Nicrosini O., Treccani M., Farina M., Amato P. Pricing financial derivatives with neural networks // Phys. A. 2004. V. 338. P. 160–165.Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 10. Gazizov R. K., Ibragimov N. H. Lie symmetry analysis of differential equations in finance // Nonlinear Dyn 1998. V. 17. P. 387–407.Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 10. Gazizov R. K., Ibragimov N. H. Lie symmetry analysis of differential equations in finance // Nonlinear Dyn 1998. V. 17. P. 387–407.Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: НГТУ, 2012.Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: НГТУ, 2012.Bordag L. A., Chmakova A. Y. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives // Int. J. Theor. Appl. Finance. 2007. V. 10, N 1. P. 1–21.Bordag L. A., Chmakova A. Y. Explicit solutions for a nonlinear model of financial derivatives // Int. J. Theor. Appl. Finance. 2007. V. 10, N 1. P. 1–21.Bordag L. A., Frey R. Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // Nonlinear models in mathematical finance: New research trends in option pricing (ed. M. Ehrhardt). Ch. 3. New York: Nova Sci. Publ., Inc., 2008. P. 83–109.Bordag L. A., Frey R. Pricing options in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // Nonlinear models in mathematical finance: New research trends in option pricing (ed. M. Ehrhardt). Ch. 3. New York: Nova Sci. Publ., Inc., 2008. P. 83–109.Bordag L. A. On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model // Mathematical control theory and finance (eds. A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra, and M. R. Grossinho). Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 2008. P. 71–94.Bordag L. A. On option-valuation in illiquid markets: invariant solutions to a nonlinear model // Mathematical control theory and finance (eds. A. Sarychev, A. Shiryaev, M. Guerra, and M. R. Grossinho). Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 2008. P. 71–94.Mikaelyan A. Analytical study of the Scho¨nbucher–Wilmott model of the feedback effect in illiquid markets: Master’s thes. (financial mathematics). Halmstad Univ., 2009. 16. Bordag L. A., Mikaelyan A. Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // J. Lett. Math. Phys 2011. V. 96, N 1–3. P. 191–207.Mikaelyan A. Analytical study of the Scho¨nbucher–Wilmott model of the feedback effect in illiquid markets: Master’s thes. (financial mathematics). Halmstad Univ., 2009. 16. Bordag L. A., Mikaelyan A. Models of self-financing hedging strategies in illiquid markets: symmetry reductions and exact solutions // J. Lett. Math. Phys 2011. V. 96, N 1–3. P. 191–207.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.