ON THE DENSITY OF A SPECIAL CLASS OF LIZORKIN FUNCTIONS IN A WEIGHTED LEBESGUE SPACE Lγp

We study the class of test functions ˆ⁺_γ constructed on the principle of Lizorkin spaces by means of mixed Fourier–Kipriyanov–Katrakhov transform. Initially, such classes of functions, constructed on the basis of a mixed Fourier–Bessel transform, were investigated by L. N. Lyakhov. The spaces introduced by him could not take into account “odd” orders of singular derivatives. But the latter appeared to be fundamentally necessary in the problems of determining the fundamental solutions of differential equations (ordinary and in partial derivatives). The integral Kipriyanov–Katrakhov transform (belonging to the class of Bessel transforms) is adapted to work with singular differential operators of the type D_{B ∂x}kB_x^m, where k takes values 0 or 1, B_x^m is a singular differential Bessel operator and the order of differentiation is 2m. The spaces of the basic functions that represent the images of the mixed Fourier–Kipriyanov– Katrakhov transform of functions vanishing at the origin and infinity are considered in this paper. We study the possibility of approximating functions from weighted Lebesgue

            classes L^γ_p with power weight              |x_i|^γi, namely, the density theorem ˆ⁺_γ in the Lebesgue

           function space L^γ_p.                     Q

1. Лизоркин П. И. Пространства Lrp(Š). Теоремы продолжения и вложения // Докл. АН. 1962. Т. 145, №3. С. 527–530.

2. Лизоркин П. И. Операторы, связанные с дробным дифференцированием, и классы дифференцируемых функций // Тр. МИАН. 1972. T. 117. C. 212–243.

3. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы, их символы и обращение // Докл. АН. 1977. Т. 232, №3. С. 528–531.

4. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы с однородными характеристиками, их символы и обращение // Тр. МИАН. 1980. T. 156. C. 157–222. 5. Samko S. G. Hypersingular integrals and their applications. London: Taylor & Francis, 2002. (Anal. Methods Spec. Functions; V. 5).

5. Ляхов Л. Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов // Докл. АН. 1990. T. 315, №2. C. 291–296.

6. Lyakhov L. N., Raykhelgauz L. B. Even and odd Fourier–Bessel transformations and some singular differential equations // Analytic Methods of Analysis and Differential Equations (AMADE-2009). Camb. Sci. Publ., 2012. P. 107–112.

7. Ляхов Л. Н., Половинкина М. В. Пространства весовых бесселевых потенциалов // Тр.

8. МИАН. 2005. Т. 250. С. 192–197.

9. Киприянов И. А., Катрахов В. В. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Мат. сб. 1977. Т. 104, №1. C. 49–68.

10. Катрахов В. В. Операторы преобразования и псевдодифференциальные операторы // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, №1. С. 86-97.

11. Катрахов В. В., Ляхов Л. Н. Полное преобразование Фурье — Бесселя и алгебра сингулярных псевдодифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, №5. С. 681–695.

12. Lyakhov L. N., Roschupkin S. A. A priori estimates for solutions of singular В-elliptic pseudodifferential equations with Bessel ∂B-operators // J. Math. Sсi. 2014. V. 196, N 4. P. 563–571.

13. Ляхов Л. Н. О символе интегрального оператора типа В-потенциала с однородной характеристикой // Докл. АН. 1996. Т. 351, №2. С. 164–168.

14. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997.

15. Левитан Б. М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя // Успехи мат. наук. 1951. T. 6, №2. C. 102–143.

16. Ляхов Л. Н., Рощупкин С. А. Полное преобразование Фурье — Бесселя некоторых основных функциональных классов // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Вып. 31. Математика. Физика. 2013. №11. С. 85–92.

17. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига // Сиб. мат. журн. 1970. Т. 11, №5. С. 1060–1083.