SOME CLASSES OF INVERSE PROBLEMS FOR MIXED TYPE EQUATIONS OF SECOND ORDER

In the Sobolev spaces, we consider the well-posedness questions for the inverse problem of recovering the source function of a mixed type equation of second order. The overdetermination conditions are the values of a solution on a collection of planes of dimension n−1. The unknowns occurring in the right-hand side depend on time and n−1 unknown space variables. Under certain natural conditions on the data of the problem, we obtain existence and uniqueness theorems for generalized solutions to this problem. The conditions on the data almost coincide with those ensuring solvability of the direct problem. The parameter continuation method and a priori estimates are used to validate the results. The method allows us to generalize the results to the case of smoother data and regular solutions.

1. Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ, 1983.

2. Егоров И. Е, Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

3. Kabanikhin S. I. Inverse and Ill-Posed Problems Theory and Applications. Berlin; Boston: De Gruyter, 2012.

4. Prilepko A. I., Orlovsky D. G., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Marcel Dekker, 1999.

5. Belov Ya. Ya. Inverse problems for parabolic equations. Utrecht: VSP, 2002.

6. Пятков С. Г., Самков М. Л. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений // Мат. тр. 2012. Т. 15, № 1. C. 155–177.

7. Джамалов С. З. О корректности одной нелокальной краевой задачи с постоянным коэффициентом для многомерного уравнения смешанного типа второго порядка // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, № 4. С. 17–27.

8. Джамалов С. З. Линейная обратная задача для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка с нелокальными граничными условиями в трехмерном пространстве // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 1. C. 7–13.

9. Сабитов К. Б. Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. СПб.: Наука, 2016.

10. Сабитов К. Б., Сидоров С. Н. Обратная задача для вырождающегося парабологиперболического уравнения с нелокальным граничным условием // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. C. 46–59.

11. Сабитов К. Б., Сафин Э. М. Обратная задача для уравнения смешанного парабологиперболического типа // Мат. заметки. 2010. Т. 87, № 6. С. 907–918.

12. Megrabov A. G. Forward and inverse problems for hyperbolic, elliptic and mixed type equations. Berlin; Boston: De Gruyter, 2013.

13. Lieberman G. M. Second order parabolic differential equations. Singapore: World Sci. Publ. Co., 1996.

14. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

15. Amann H. Compact embeddings of vector-valued Sobolev and Besov spaces // Glasnik Mat., Ser. III. 2000. V. 35, N 1. P. 161–177.

16. Егоров И. Е. Применение модифицированного метода Галеркина к первой краевой задаче для уравнения смешанного типа // Мат. заметки СВФУ. 2015. Т. 22, № 3. С. 3–10.