ON FREDHOLM SOLVABILITY OF FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR MIXED–TYPE SECOND–ORDER EQUATION WITH SPECTRAL PARAMETER

We study the first boundary problem for the mixed-type second-order equation with a spectral parameter in a cylindrical domain in Rⁿ⁺¹. Previously, for the mixed-type second-order equations some results were received only in two-dimensional domains. V. N. Vragov was the first to propose a well-posed statement of a boundary problem for the mixed-type equations. One of the well-posedness conditions is nonnegativity of the spectral parameter. Here we analyze the case of complex spectral parameter and receive a priopri estimates under certain conditions, using which an existence and uniqueness theorem is proved for the first boundary problem in the energy class. Also, we obtain sufficient conditions for the Fredholm solvability in the energy class.

1. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.

2. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990.

3. Егоров И. Е., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

4. Салахитдинов М. С., Уринов А. Н. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: Изд-во ФАН, 1997.

5. Салахитдинов М. С., Уринов А. Н. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент: Изд-во МUМTOZ SO’Z, 2010.

6. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости одной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 1. С. 55–64.

7. Егоров И. Е., Захарова Т. И. О фредгольмовости краевой задачи для уравнения смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 1. С. 20–26.

8. Врагов В. Н. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 6. С. 1098–1105.

9. Егоров И. Е. О краевой задаче для уравнения смешанного типа со спектральным параметром // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 1, С. 11–17.

10. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

11. Кальменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 8. С. 1418–1425.

12. Егоров И. Е. О фредгольмовости краевой задачи Врагова для уравнения смешанного типа четного порядка // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, № 4, С. 19–28.

13. Егоров И. Е. О фредгольмовой разрешимости первой краевой задачи для уравнения смешанного типа четного порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 2. С. 48–56.

14. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О сходимости спектральных разложений функций из класса Гёльдера для двух задач со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 8. С. 1069–1074.

15. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.